Блэк-Шоулз модель

Блэк-Шоулз Модель

Блэк-Шоулз модель (Black-Scholes Model), также известная как модель Блэка-Шоулза-Мертона, является математической моделью для оценки теоретической стоимости европейских опционов. Хотя она изначально разрабатывалась для европейских опционов на акции, ее принципы и модификации используются и в других областях, включая оценку опционов на валюту, фьючерсы и даже в контексте бинарных опционов. Понимание этой модели критически важно для любого, кто серьезно занимается торговлей опционами, и даже для тех, кто использует бинарные опционы, поскольку она позволяет оценить вероятность "в деньгах" (in-the-money) для различных страйков.

История и Разработка

Модель была разработана Фишером Блэком и Майроном Шоулзом в 1973 году. Роберт Мертон внес существенный вклад в расширение и математическое обоснование модели, за что он получил Нобелевскую премию по экономике в 1997 году (Блэк умер в 1995 году и не мог быть удостоен награды посмертно). Изначально модель была создана для оценки опционов "call", но позже была адаптирована для опционов "put" с использованием паритета пут-колл (put-call parity).

Основные Предположения

Модель Блэка-Шоулза основывается на ряде предположений, которые важно понимать, так как их нарушение может привести к неточной оценке опциона:

Эффективность рынка: Рынок является эффективным, то есть вся доступная информация уже отражена в цене актива.
Отсутствие арбитража: Возможности для безрискового получения прибыли отсутствуют.
Постоянная волатильность: Волатильность базового актива остается постоянной в течение срока действия опциона. Это, пожалуй, самое спорное предположение, так как волатильность на практике часто меняется. Для учета этого фактора используют модель волатильности.
Бездивидендный актив: Базовый актив не выплачивает дивиденды в течение срока действия опциона. Модификации модели позволяют учитывать выплату дивидендов.
Европейский тип опциона: Опцион может быть исполнен только в дату истечения срока действия. Для американских опционов, которые можно исполнить в любой момент до даты истечения, используются более сложные модели, такие как модель биномиальных опционов.
Безрисковая процентная ставка: Существует постоянная безрисковая процентная ставка.
Логнормальное распределение: Цены активов следуют логнормальному распределению.
Непрерывная торговля: Возможность непрерывной торговли активом.

Формула Блэка-Шоулза

Формула для расчета стоимости европейского опциона "call" выглядит следующим образом:

'C = S * N(d₁) - K * e^-rT * N(d₂),

Где:

C – теоретическая стоимость опциона "call".
S – текущая цена базового актива.
K – цена исполнения (страйк) опциона.
r – безрисковая процентная ставка (в годовом выражении).
T – время до истечения срока действия опциона (в годах).
e – математическая константа (основание натурального логарифма, приблизительно 2.71828).
N(x) – кумулятивная функция нормального распределения.
'd₁ = (ln(S/K) + (r + σ²/2) * T) / (σ * √T),
d₂ = d₁ - σ * √T,
σ – волатильность базового актива (в годовом выражении).

Формула для опциона "put" может быть получена из формулы для "call" с использованием паритета пут-колл:

'P = K * e^-rT * N(-d₂) - S * N(-d₁),

Где:

P – теоретическая стоимость опциона "put".

Интерпретация Параметров

Цена базового актива (S): Чем выше цена базового актива, тем выше стоимость опциона "call" и ниже стоимость опциона "put".
Цена исполнения (K): Чем ниже цена исполнения, тем выше стоимость опциона "call" и ниже стоимость опциона "put".
Безрисковая процентная ставка (r): Более высокая безрисковая процентная ставка увеличивает стоимость опциона "call" и снижает стоимость опциона "put".
Время до истечения срока действия (T): Чем больше времени до истечения срока действия, тем выше стоимость опциона (как "call", так и "put"), поскольку есть больше возможностей для изменения цены базового актива.
Волатильность (σ): Чем выше волатильность, тем выше стоимость опциона (как "call", так и "put"). Это связано с тем, что более высокая волатильность увеличивает вероятность того, что цена базового актива значительно изменится в любом направлении. Волатильность является ключевым параметром, и ее оценка часто является сложной задачей. Существуют различные методы оценки волатильности, включая историческую волатильность и подразумеваемую волатильность.

Применение в Бинарных Опционах

Хотя модель Блэка-Шоулза изначально разработана для европейских опционов, ее можно использовать для оценки вероятности "в деньгах" для бинарных опционов. В контексте бинарных опционов, модель помогает определить, насколько вероятно, что цена базового актива достигнет определенного уровня (страйка) к моменту истечения срока действия опциона. Вместо расчета цены опциона, мы используем параметры модели для расчета вероятности. Например, можно использовать d₁ и d₂ для вычисления вероятности того, что цена актива будет выше страйка к моменту истечения.

Однако важно помнить, что применение модели Блэка-Шоулза к бинарным опционам имеет свои ограничения, так как бинарные опционы – это опционы с фиксированной выплатой, а модель предполагает непрерывную выплату.

Ограничения и Критика

Несмотря на свою популярность, модель Блэка-Шоулза подвергается критике из-за ряда ограничений:

Постоянная волатильность: Как уже упоминалось, предположение о постоянной волатильности часто не соответствует действительности.
Нормальное распределение: Цены активов часто демонстрируют "толстые хвосты" (fat tails), то есть более высокую вероятность экстремальных событий, чем предсказывает нормальное распределение.
Отсутствие транзакционных издержек: Модель не учитывает транзакционные издержки, такие как комиссии брокера.
Неприменимость к американским опционам: Модель не может точно оценить стоимость американских опционов из-за возможности досрочного исполнения.
Предположение о непрерывной торговле: На практике торговля активами не является непрерывной.

Модификации и Улучшения

Чтобы преодолеть некоторые из ограничений модели Блэка-Шоулза, были разработаны различные модификации и улучшения:

Модель Хестона: Учитывает стохастическую волатильность (волатильность, которая меняется во времени).
Модель Мертона с прыжками: Учитывает возможность внезапных изменений цены актива (прыжков).
Модель биномиальных опционов: Используется для оценки американских опционов.
Модель Монте-Карло: Используется для оценки сложных опционов, для которых аналитические решения не существуют.

Заключение

Блэк-Шоулз модель является важным инструментом для оценки опционов и понимания факторов, влияющих на их стоимость. Несмотря на свои ограничения, она остается основой для многих современных моделей ценообразования опционов и широко используется в финансовой индустрии. Понимание принципов работы модели Блэка-Шоулза необходимо для успешной торговли опционами, включая бинарные опционы. Важно помнить о предположениях модели и учитывать их при интерпретации результатов.

Ссылки

Сравнение параметров Блэка-Шоулза и их влияние на стоимость опциона
Параметр	Влияние на цену Call	Влияние на цену Put
Цена базового актива (S)	Увеличение	Уменьшение
Цена исполнения (K)	Увеличение	Уменьшение
Безрисковая процентная ставка (r)	Увеличение	Уменьшение
Время до истечения (T)	Увеличение	Увеличение
Волатильность (σ)	Увеличение	Увеличение

Платформа	Особенности	Регистрация
Binomo	Высокая доходность, демо-счет	Присоединиться
Pocket Option	Социальный трейдинг, бонусы	Открыть счет

Блэк-Шоулз модель

Contents