مدل باینومیال

مقدمه

مدل باینومیال یک روش ریاضیاتی برایمت‌گذاری دارایی‌های مالی است که بر اساس این فرض است که قیمت دارایی در طول زمان تنها می‌تواند دو حالت داشته باشد: بالا رفتن یا پایین آمدن. این مدل، پایه و اساس بسیاری از تکنیک‌های پیشرفته‌تر در مالی، به‌ویژه در قیمت‌گذاری گزینه‌ها، به شمار می‌رود. درک مدل باینومیال برای هر فعال بازار، از جمله معامله‌گران خرده‌فروشی و مدیران دارایی، ضروری است. این مقاله به بررسی عمیق این مدل، مفروضات، کاربردها، مزایا و معایب آن می‌پردازد.

مفروضات کلیدی

مدل باینومیال بر اساس چند مفروضات کلیدی استوار است:

**دوره گسسته زمان:** زمان به دوره‌های گسسته و برابر تقسیم می‌شود. به عنوان مثال، هر دوره می‌تواند یک روز، یک هفته یا یک ماه باشد.
**حرکت قیمت دو حالته:** قیمت دارایی در هر دوره زمانی فقط می‌تواند به یکی از دو حالت تغییر کند: افزایش (بالا رفتن) یا کاهش (پایین آمدن).
**احتمالات ثابت:** احتمال افزایش یا کاهش قیمت در هر دوره زمانی ثابت است.
**نرخ بهره بدون ریسک ثابت:** نرخ بهره بدون ریسک در طول دوره زمانی مدل ثابت در نظر گرفته می‌شود.
**عدم وجود سود سهام:** در ساده‌ترین شکل مدل، فرض می‌شود که دارایی مورد نظر هیچ سود سهامی پرداخت نمی‌کند. (البته می‌توان مدل را برای در نظر گرفتن سود سهام تعدیل کرد.)
**بازارهای کارآمد:** فرض بر این است که بازارها کارآمد هستند و اطلاعات به سرعت در قیمت‌ها منعکس می‌شوند.

ساختار مدل

مدل باینومیال یک درخت تصمیم‌گیری ایجاد می‌کند که تمام مسیرهای احتمالی قیمت دارایی را در طول زمان نشان می‌دهد. هر گره در این درخت نشان‌دهنده قیمت دارایی در یک زمان خاص است. از گره فعلی، قیمت می‌تواند در دوره زمانی بعدی به سمت بالا یا پایین حرکت کند.

تصور کنید یک سهم با قیمت فعلی ۱۰۰ تومان داریم. فرض کنید احتمال افزایش قیمت در هر دوره 0.6 و احتمال کاهش قیمت 0.4 باشد. نرخ بهره بدون ریسک نیز 5% در نظر گرفته شود. در دوره بعدی، قیمت سهم می‌تواند به ۱۱۰ تومان (افزایش) یا ۹۰ تومان (کاهش) برسد. این فرآیند در دوره‌های بعدی نیز تکرار می‌شود و یک درخت باینومیال از قیمت‌ها ایجاد می‌گردد.

مثال درخت باینومیال
قیمت \| احتمال \|
100 \| - \|
110 \| 0.6 \|
90 \| 0.4 \|
121 \| 0.6 * 0.6 \|
108.9 \| 0.6 * 0.4 \|
99 \| 0.4 * 0.6 \|
81 \| 0.4 * 0.4 \|

قیمت‌گذاری گزینه‌ها با مدل باینومیال

مدل باینومیال به طور خاص برای قیمت‌گذاری گزینه‌های اروپایی و گزینه‌های آمریکایی استفاده می‌شود.

**گزینه‌های اروپایی:** قیمت یک گزینه اروپایی در مدل باینومیال با محاسبه میانگین وزنی ارزش فعلی بازپرداخت‌های احتمالی در تاریخ سررسید به دست می‌آید. این میانگین وزنی با استفاده از احتمالات مربوط به هر مسیر قیمت محاسبه می‌شود.

**گزینه‌های آمریکایی:** قیمت‌گذاری گزینه‌های آمریکایی کمی پیچیده‌تر است، زیرا دارنده گزینه حق دارد آن را در هر زمان قبل از سررسید اعمال کند. در مدل باینومیال، قیمت‌گذاری گزینه‌های آمریکایی با استفاده از یک روش فرایند معکوس انجام می‌شود. یعنی از سررسید به عقب حرکت می‌کنیم و در هر گره، ارزش گزینه را با مقایسه ارزش اعمال فوری و ارزش نگه داشتن گزینه تعیین می‌کنیم.

فرمول‌های کلیدی

**u:** ضریب افزایش قیمت (up factor)
**d:** ضریب کاهش قیمت (down factor)
**p:** احتمال افزایش قیمت
**r:** نرخ بهره بدون ریسک
**S:** قیمت فعلی دارایی
**K:** قیمت اعمال گزینه (strike price)
**T:** زمان سررسید

فرمول محاسبه قیمت گزینه باینومیال به صورت زیر است:

C = e^-rT Σ_i=0ⁿ pⁱ(1-p)^n-i max(0, S uⁱ d^n-i – K)

که در آن:

C قیمت گزینه است.
n تعداد دوره‌های زمانی است.

مزایا و معایب مدل باینومیال

- مزایا:**

**سادگی:** مدل باینومیال نسبت به سایر مدل‌های قیمت‌گذاری گزینه‌ها، مانند مدل بلک-شولز، ساده‌تر است و درک آن آسان‌تر است.
**انعطاف‌پذیری:** مدل باینومیال می‌تواند برای قیمت‌گذاری انواع مختلف گزینه‌ها، از جمله گزینه‌های اروپایی و آمریکایی، استفاده شود.
**قابلیت توسعه:** می‌توان مدل باینومیال را با افزودن مفروضات اضافی، مانند وجود سود سهام، تعدیل کرد.
**قابلیت درک شهودی:** به دلیل ساختار درختی، تصور و درک نحوه قیمت‌گذاری گزینه‌ها آسان‌تر است.

- معایب:**

**مفروضات ساده‌سازی‌شده:** مدل باینومیال بر اساس مفروضات ساده‌سازی‌شده‌ای است که ممکن است در دنیای واقعی برقرار نباشند.
**محاسبات پیچیده:** با افزایش تعداد دوره‌های زمانی، محاسبات مربوط به مدل باینومیال می‌تواند پیچیده شود.
**عدم در نظر گرفتن نوسانات:** مدل باینومیال به طور ضمنی فرض می‌کند که نوسانات قیمت ثابت است، در حالی که در واقعیت نوسانات می‌تواند در طول زمان تغییر کند.
**حساسیت به پارامترها:** نتایج مدل به شدت به مقادیر پارامترهای ورودی، مانند احتمال افزایش و کاهش قیمت، حساس است.

کاربردهای مدل باینومیال

**قیمت‌گذاری گزینه‌ها:** مهم‌ترین کاربرد مدل باینومیال، قیمت‌گذاری گزینه‌ها است.
**مدیریت ریسک:** مدل باینومیال می‌تواند برای ارزیابی و مدیریت ریسک‌های مرتبط با معاملات گزینه استفاده شود.
**تحلیل حساسیت:** مدل باینومیال می‌تواند برای تحلیل حساسیت قیمت گزینه‌ها به تغییرات پارامترهای ورودی استفاده شود.
**ارزیابی پروژه‌ها:** مدل باینومیال می‌تواند برای ارزیابی پروژه‌های سرمایه‌گذاری با عدم قطعیت بالا استفاده شود.

مقایسه با مدل بلک-شولز

مدل بلک-شولز یک مدل تحلیلی است که برای قیمت‌گذاری گزینه‌های اروپایی استفاده می‌شود. در مقابل، مدل باینومیال یک مدل عددی است که می‌تواند برای قیمت‌گذاری انواع مختلف گزینه‌ها، از جمله گزینه‌های آمریکایی، استفاده شود. مدل بلک-شولز بر اساس مفروضات قوی‌تری استوار است، مانند فرض توزیع نرمال برای بازده دارایی، در حالی که مدل باینومیال انعطاف‌پذیرتر است و می‌تواند با مفروضات مختلفی کار کند. به طور کلی، مدل باینومیال برای موقعیت‌هایی که مفروضات مدل بلک-شولز برقرار نیستند، مناسب‌تر است.

توسعه مدل باینومیال

مدل باینومیال می‌تواند به روش‌های مختلفی توسعه یابد:

**مدل سه‌جمله‌ای:** در این مدل، قیمت دارایی می‌تواند در هر دوره زمانی به سه حالت تغییر کند: افزایش، کاهش یا ثابت ماندن.
**مدل های چندجمله‌ای:** تعمیم مدل باینومیال به تعداد بیشتری از حالات ممکن برای تغییر قیمت.
**درخت‌های منطقی:** استفاده از الگوریتم‌های پیچیده‌تر برای ساخت درخت قیمت.
**در نظر گرفتن سود سهام:** تعدیل مدل برای در نظر گرفتن پرداخت سود سهام توسط دارایی.
**مدل‌های نوسانات تصادفی:** استفاده از مدل‌هایی که نوسانات قیمت را به صورت تصادفی در نظر می‌گیرند.

جمع‌بندی

مدل باینومیال یک ابزار قدرتمند برای قیمت‌گذاری گزینه‌ها و تحلیل ریسک است. با وجود برخی معایب، این مدل به دلیل سادگی، انعطاف‌پذیری و قابلیت توسعه، همچنان یکی از پرکاربردترین روش‌ها در دنیای مالی است. درک مفروضات و محدودیت‌های مدل باینومیال برای استفاده صحیح از آن ضروری است.

پیوندهای مرتبط

شروع معاملات الآن

ثبت‌نام در IQ Option (حداقل واریز $10) باز کردن حساب در Pocket Option (حداقل واریز $5)

به جامعه ما بپیوندید

در کانال تلگرام ما عضو شوید @strategybin و دسترسی پیدا کنید به: ✓ سیگنال‌های معاملاتی روزانه ✓ تحلیل‌های استراتژیک انحصاری ✓ هشدارهای مربوط به روند بازار ✓ مواد آموزشی برای مبتدیان

مدل باینومیال

Contents