مدل باینومال

مدل باینومال

مدل باینومال (Binomial Model) یکی از پایه‌ای‌ترین و پرکاربردترین مدل‌های مورد استفاده در ارزش‌گذاری آپشن‌ها (Option Pricing) و سایر ابزارهای مالی مشتق شده است. این مدل، قیمت یک دارایی پایه را در بازه‌های زمانی گسسته و با فرض وجود دو حالت ممکن برای حرکت قیمت آن (بالا رفتن یا پایین آمدن) پیش‌بینی می‌کند. در این مقاله، به بررسی دقیق این مدل، مفروضات آن، نحوه کارکرد و کاربردهای آن می‌پردازیم.

مفروضات اصلی مدل باینومال

مدل باینومال بر اساس چند مفروضه کلیدی بنا شده است:

• بازار کارا: فرض بر این است که بازارها به طور کامل کارا هستند و اطلاعات به سرعت در قیمت‌ها منعکس می‌شوند. این بدان معنی است که نمی‌توان به طور مداوم از فرصت‌های سودآوری غیرعادی استفاده کرد.
• نرخ بهره بدون ریسک ثابت: نرخ بهره‌ای که برای سرمایه‌گذاری بدون ریسک وجود دارد، در طول دوره زمانی مدل ثابت فرض می‌شود. این نرخ معمولاً نرخ بازده اوراق قرضه دولتی با سررسید مشابه با دوره زمانی آپشن است.
• عدم وجود هزینه تراکنش: در این مدل فرض می‌شود که هیچ هزینه‌ای برای خرید و فروش دارایی پایه وجود ندارد.
• عدم پرداخت سود': در حالت ساده، فرض می‌شود که دارایی پایه در طول دوره زمانی مدل سود تقسیمی پرداخت نمی‌کند. (البته می‌توان مدل را برای دارایی‌هایی که سود پرداخت می‌کنند، تعدیل کرد).
• حرکت قیمت به صورت گسسته: مهم‌ترین فرض مدل باینومال این است که قیمت دارایی پایه تنها می‌تواند در هر بازه زمانی به یکی از دو حالت ممکن حرکت کند: بالا رفتن یا پایین آمدن.
• احتمالات ثابت: احتمال افزایش و کاهش قیمت در هر بازه زمانی ثابت فرض می‌شود.

نحوه کارکرد مدل باینومال

مدل باینومال با ایجاد یک درخت باینومال (Binomial Tree) کار می‌کند. این درخت، تمام مسیرهای احتمالی حرکت قیمت دارایی پایه را در طول دوره زمانی آپشن نشان می‌دهد. هر گره در درخت نشان‌دهنده قیمت دارایی پایه در یک زمان مشخص است.

ساختار یک درخت باینومال

قیمت دارایی پایه |

S0 |

S0u یا S0d |

S0u2، S0ud، S0d2 |

... |

در این جدول:

• S₀ قیمت فعلی دارایی پایه است.
• Δt طول هر بازه زمانی در درخت است.
• u ضریب افزایش قیمت است (u > 1).
• d ضریب کاهش قیمت است (0 < d < 1).

معمولاً فرض بر این است که u و d به گونه‌ای انتخاب می‌شوند که شرط عدم سودآوری (No-Arbitrage Condition) برقرار باشد. این شرط به این معنی است که هیچ فرصتی برای کسب سود بدون ریسک وجود نداشته باشد. فرمول شرط عدم سودآوری به صورت زیر است:

e^rΔt = (u)(1-p) + (d)(p)

که در آن:

• r نرخ بهره بدون ریسک است.
• p احتمال افزایش قیمت است.

معمولاً برای ساده‌سازی، فرض می‌شود که u = 1/d و p = (e^rΔt - d) / (u - d).

ارزش‌گذاری آپشن با مدل باینومال

پس از ایجاد درخت باینومال، می‌توان ارزش آپشن را در هر گره محاسبه کرد. این کار از آخرین گره‌ها (Terminal Nodes) درخت شروع می‌شود و به سمت عقب حرکت می‌کند.

در آخرین گره‌ها، ارزش آپشن برابر با ارزش درونی (Intrinsic Value) آن است:

• برای آپشن خرید (Call Option): max(S_T - K, 0)
• برای آپشن فروش (Put Option): max(K - S_T, 0)

که در آن:

• S_T قیمت دارایی پایه در زمان سررسید آپشن است.
• K قیمت اعمال (Strike Price) آپشن است.

سپس، ارزش آپشن در هر گره قبلی با استفاده از فرمول ارزش‌گذاری باینومال محاسبه می‌شود:

C = e^-rΔt[pC_u + (1-p)C_d]

P = e^-rΔt[pP_u + (1-p)P_d]

که در آن:

• C ارزش آپشن خرید است.
• P ارزش آپشن فروش است.
• C_u ارزش آپشن خرید در گره‌ای که قیمت دارایی پایه افزایش یافته است.
• C_d ارزش آپشن خرید در گره‌ای که قیمت دارایی پایه کاهش یافته است.
• P_u ارزش آپشن فروش در گره‌ای که قیمت دارایی پایه افزایش یافته است.
• P_d ارزش آپشن فروش در گره‌ای که قیمت دارایی پایه کاهش یافته است.

این فرآیند به صورت بازگشتی (Recursively) تکرار می‌شود تا به گره ریشه درخت (زمان فعلی) برسیم. ارزش آپشن در گره ریشه، ارزش فعلی آپشن است.

مزایا و معایب مدل باینومال

مزایا:

• سادگی: مدل باینومال نسبتاً ساده است و درک آن آسان است.
• انعطاف‌پذیری: این مدل می‌تواند برای ارزش‌گذاری انواع مختلف آپشن‌ها، از جمله آپشن‌های آمریکایی و اروپایی، مورد استفاده قرار گیرد.
• قابلیت درک بصری: درخت باینومال به درک بصری مسیرهای احتمالی حرکت قیمت دارایی پایه کمک می‌کند.

معایب:

• مفروضات ساده‌سازی شده: مفروضات مدل باینومال، مانند ثابت بودن نرخ بهره و عدم وجود هزینه تراکنش، ممکن است در دنیای واقعی برقرار نباشند.
• نیاز به محاسبات زیاد: با افزایش تعداد بازه‌های زمانی، تعداد گره‌ها در درخت باینومال به طور تصاعدی افزایش می‌یابد و نیاز به محاسبات زیادی دارد.
• دقت محدود: در مقایسه با مدل‌های پیشرفته‌تر مانند مدل بلک-شولز (Black-Scholes Model)، مدل باینومال ممکن است دقت کمتری داشته باشد.

کاربردهای مدل باینومال

مدل باینومال در موارد زیر کاربرد دارد:

• ارزش‌گذاری آپشن‌های آمریکایی: به دلیل قابلیت در نظر گرفتن امکان اعمال زودهنگام، مدل باینومال برای ارزش‌گذاری آپشن‌های آمریکایی بسیار مناسب است.
• ارزش‌گذاری آپشن‌های پیچیده: این مدل می‌تواند برای ارزش‌گذاری آپشن‌هایی که ویژگی‌های پیچیده‌تری دارند، مانند آپشن‌های با مانع (Barrier Options) و آپشن‌های آسیایی (Asian Options)، استفاده شود.
• مدیریت ریسک: مدل باینومال می‌تواند برای تحلیل سناریوهای مختلف و ارزیابی ریسک‌های مرتبط با آپشن‌ها مورد استفاده قرار گیرد.
• آموزش : به دلیل سادگی، مدل باینومال ابزاری مناسب برای آموزش مفاهیم پایه ارزش‌گذاری آپشن‌ها است.

مثال عملی

فرض کنید یک آپشن خرید اروپایی با قیمت اعمال 100 دلار و سررسید 3 ماهه داریم. قیمت فعلی دارایی پایه 95 دلار است. نرخ بهره بدون ریسک 5 درصد در سال است. می‌خواهیم با استفاده از مدل باینومال با یک بازه زمانی، ارزش این آپشن را محاسبه کنیم.

1. محاسبه u و d: فرض می‌کنیم u = 1.1 و d = 0.9. 2. محاسبه p: p = (e^{0.05 * 0.25} - 0.9) / (1.1 - 0.9) = 0.62 3. محاسبه قیمت دارایی پایه در دو حالت:

   *   Su = 95 * 1.1 = 104.5
   *   Sd = 95 * 0.9 = 85.5

4. محاسبه ارزش آپشن در دو حالت:

   *   Cu = max(104.5 - 100, 0) = 4.5
   *   Cd = max(85.5 - 100, 0) = 0

5. محاسبه ارزش فعلی آپشن: C = e^{-0.05 * 0.25}[0.62 * 4.5 + (1-0.62) * 0] = 2.68

بنابراین، ارزش تقریبی آپشن خرید با استفاده از مدل باینومال با یک بازه زمانی، 2.68 دلار است.

مقایسه با مدل بلک-شولز

مدل بلک-شولز (Black-Scholes Model) یک مدل تحلیلی است که برای ارزش‌گذاری آپشن‌های اروپایی استفاده می‌شود. در حالی که مدل باینومال یک مدل عددی است و نیاز به محاسبات تکراری دارد. مدل بلک-شولز بر اساس مفروضات قوی‌تری بنا شده است و معمولاً دقت بالاتری دارد. با این حال، مدل باینومال می‌تواند برای ارزش‌گذاری آپشن‌های آمریکایی و آپشن‌های پیچیده استفاده شود، در حالی که مدل بلک-شولز نمی‌تواند.

منابع بیشتر

• Hull, J. C. (2018). Options, Futures, and Other Derivatives. Pearson Education.
• Natenberg, S. (2013). Option Pricing: Mathematical Models and Practical Applications. Wiley.

پیوند به موضوعات مرتبط

• ارزش‌گذاری آپشن
• آپشن خرید
• آپشن فروش
• مدل بلک-شولز
• نرخ بهره بدون ریسک
• شرط عدم سودآوری
• درخت باینومال
• بازار کارا
• تحلیل حساسیت
• ریسک آپشن
• استراتژی‌های آپشن
• آربیتراژ
• مدیریت پورتفوی
• سود تقسیمی
• تحلیل تکنیکال (به عنوان مکمل برای درک حرکت قیمت)
• میانگین متحرک (ابزار تحلیل تکنیکال)
• اندیکاتور RSI (ابزار تحلیل تکنیکال)
• باند بولینگر (ابزار تحلیل تکنیکال)
• حجم معاملات (برای تایید روندها)
• الگوهای کندل استیک (برای شناسایی فرصت‌های معاملاتی)
• تحلیل بنیادی (در کنار تحلیل تکنیکال)
• مدل‌های احتمالی
• تنوع‌سازی سبد سهام
• مدیریت ریسک در سرمایه‌گذاری
• سرمایه‌گذاری در بازار سهام

• • توضیح:**

• **مختصر:** دسته‌بندی به طور خلاصه هدف مقاله را نشان می‌دهد.
• **مفید:** دسته‌بندی به کاربران کمک می‌کند تا مقالات مشابه را پیدا کنند.
• **مرتبط:** این دسته‌بندی به طور مستقیم با موضوع مقاله مرتبط است.
• **دقیق:** این دسته‌بندی به طور خاص به مدل‌های احتمالی اشاره دارد.
• **سازگار:** این دسته‌بندی با ساختار دسته‌بندی ویکی‌فا سازگار است.

• **مختصر:** دسته‌بندی به طور خلاصه حوزه کاربرد مدل را نشان می‌دهد.
• **مفید:** دسته‌بندی به کاربران کمک می‌کند تا مقالات مرتبط با حوزه‌های مالی را پیدا کنند.
• **مرتبط:** این دسته‌بندی به طور مستقیم با بازارهای مالی مرتبط است.
• **دقیق:** این دسته‌بندی به طور کلی به بازارهای مالی اشاره دارد.
• **سازگار:** این دسته‌بندی با ساختار دسته‌بندی ویکی‌فا سازگار است.

• **مختصر:** دسته‌بندی نوع ابزاری که مدل برای آن استفاده می‌شود را نشان می‌دهد.
• **مفید:** دسته‌بندی به کاربران کمک می‌کند تا مقالات مرتبط با ابزارهای مالی مشتق را پیدا کنند.
• **مرتبط:** این دسته‌بندی به طور مستقیم با ابزارهای مالی مشتق مرتبط است.
• **دقیق:** این دسته‌بندی به طور خاص به ابزارهای مالی مشتق اشاره دارد.
• **سازگار:** این دسته‌بندی با ساختار دسته‌بندی ویکی‌فا سازگار است.

شروع معاملات الآن

ثبت‌نام در IQ Option (حداقل واریز $10) باز کردن حساب در Pocket Option (حداقل واریز $5)

به جامعه ما بپیوندید

در کانال تلگرام ما عضو شوید @strategybin و دسترسی پیدا کنید به: ✓ سیگنال‌های معاملاتی روزانه ✓ تحلیل‌های استراتژیک انحصاری ✓ هشدارهای مربوط به روند بازار ✓ مواد آموزشی برای مبتدیان