Generalized least squares

Generalized Least Squares ( GLS )

Generalized Least Squares ( GLS ) হল একটি পরিসংখ্যানিক পদ্ধতি যা সাধারণ লিনিয়ার রিগ্রেশন মডেলের ত্রুটিগুলির মধ্যে বিদ্যমান পারস্পরিক সম্পর্ক (correlation) এবং অসম ভেদাঙ্ক (heteroscedasticity) মোকাবেলা করতে ব্যবহৃত হয়। যখন ত্রুটিগুলি পারস্পরিকভাবে সম্পর্কযুক্ত বা অসম ভেদাঙ্কযুক্ত হয়, তখন সাধারণ লিনিয়ার রিগ্রেশন (Ordinary Least Squares - OLS) এর মাধ্যমে প্রাপ্ত অনুমানের মানগুলি অপটিমাল (optimal) থাকে না, অর্থাৎ এগুলি সবচেয়ে নির্ভুল অনুমান প্রদান করে না। GLS এই সমস্যাগুলি সমাধান করে এবং আরও নির্ভরযোগ্য ফলাফল সরবরাহ করে।

সূচনা লিনিয়ার রিগ্রেশন মডেলের মূল ধারণা হল একটি নির্ভরশীল চলক (dependent variable) এবং এক বা একাধিক স্বাধীন চলকের (independent variables) মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করা। OLS পদ্ধতিটি ত্রুটিগুলির সমষ্টি বর্গকে (sum of squares) সর্বনিম্ন করার মাধ্যমে রিগ্রেশন সহগগুলি (regression coefficients) অনুমান করে। তবে, OLS কিছু নির্দিষ্ট অনুমানের উপর ভিত্তি করে তৈরি, যার মধ্যে ত্রুটিগুলির পারস্পরিক সম্পর্কহীনতা এবং সমভেদাঙ্ক অন্যতম। এই অনুমানগুলি লঙ্ঘিত হলে, OLS অনুমানের মানগুলি পক্ষপাতদুষ্ট (biased) এবং অদক্ষ (inefficient) হতে পারে।

GLS এর প্রয়োজনীয়তা ত্রুটিগুলির মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক এবং অসম ভেদাঙ্ক বিভিন্ন পরিস্থিতিতে দেখা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, সময়-সিরিজ ডেটাতে (time-series data) ধারাবাহিক পর্যবেক্ষণগুলি প্রায়শই পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত থাকে। অন্যদিকে, ক্রস- sectional ডেটাতে (cross-sectional data) বিভিন্ন পর্যবেক্ষণের জন্য ত্রুটির ভেদাঙ্ক ভিন্ন হতে পারে। এই ধরনের পরিস্থিতিতে GLS ব্যবহার করা বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ।

GLS এর মূল ধারণা GLS এর মূল ধারণা হল ত্রুটি কাঠামোর (error structure) একটি মডেল তৈরি করা এবং সেই অনুযায়ী রিগ্রেশন সমীকরণকে পরিবর্তন করা। এটি নিম্নলিখিত ধাপগুলির মাধ্যমে সম্পন্ন করা হয়:

১. ত্রুটি কাঠামোর মডেলিং: প্রথমে, ত্রুটিগুলির মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক এবং অসম ভেদাঙ্ককে একটি ম্যাট্রিক্সের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। এই ম্যাট্রিক্সটিকে সাধারণত ভেদাঙ্ক-সহসম্বন্ধ ম্যাট্রিক্স (variance-covariance matrix) বলা হয়।

২. ডেটা রূপান্তর: এরপর, ডেটাকে এমনভাবে রূপান্তর করা হয় যাতে রূপান্তরিত ত্রুটিগুলি পারস্পরিক সম্পর্কহীন এবং সমভেদাঙ্কযুক্ত হয়। এই রূপান্তরটি ভেদাঙ্ক-সহসম্বন্ধ ম্যাট্রিক্সের বর্গমূলের বিপরীত ম্যাট্রিক্স (square root of the inverse of the variance-covariance matrix) ব্যবহার করে করা হয়।

৩. রিগ্রেশন বিশ্লেষণ: রূপান্তরিত ডেটার উপর OLS রিগ্রেশন প্রয়োগ করা হয়। এর ফলে প্রাপ্ত অনুমানের মানগুলি GLS অনুমান হিসাবে পরিচিত।

গাণিতিক রূপ ধরা যাক, আমাদের কাছে একটি লিনিয়ার রিগ্রেশন মডেল আছে:

y = Xβ + ε

যেখানে, y হল নির্ভরশীল চলকের ভেক্টর, X হল স্বাধীন চলকের ম্যাট্রিক্স, β হল রিগ্রেশন সহগের ভেক্টর, এবং ε হল ত্রুটির ভেক্টর।

যদি ত্রুটিগুলির ভেদাঙ্ক-সহসম্বন্ধ ম্যাট্রিক্স Σ হয়, তবে GLS অনুমান β̂ GLS নিম্নলিখিতভাবে গণনা করা হয়:

β̂ GLS = (XᵀΣ⁻¹X)⁻¹XᵀΣ⁻¹y

এখানে, Σ⁻¹ হল Σ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স।

GLS এর প্রকারভেদ GLS বিভিন্ন ধরনের হতে পারে, ত্রুটি কাঠামোর মডেলিংয়ের উপর ভিত্তি করে। এর মধ্যে কিছু গুরুত্বপূর্ণ প্রকারভেদ নিচে উল্লেখ করা হলো:

১. Weighted Least Squares ( WLS ): WLS হল GLS এর একটি বিশেষ ক্ষেত্রে, যেখানে ত্রুটিগুলির মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক নেই, কিন্তু অসম ভেদাঙ্ক বিদ্যমান। এই ক্ষেত্রে, Σ ম্যাট্রিক্স একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স (diagonal matrix) হয়, যার কর্ণ উপাদানগুলি প্রতিটি পর্যবেক্ষণের ভেদাঙ্ক নির্দেশ করে।

২. Feasible Generalized Least Squares ( FGLS ): FGLS ব্যবহার করা হয় যখন ত্রুটি কাঠামোর ভেদাঙ্ক-সহসম্বন্ধ ম্যাট্রিক্স Σ জানা যায় না, এবং এটিকে ডেটা থেকে অনুমান করতে হয়।

৩. Autoregressive Generalized Least Squares ( ARGLS ): ARGLS সময়-সিরিজ ডেটার জন্য ব্যবহৃত হয়, যেখানে ত্রুটিগুলি একটি অটো-রিগ্রেসিভ প্রক্রিয়া (autoregressive process) অনুসরণ করে।

উদাহরণ একটি উদাহরণস্বরূপ, ধরা যাক একটি কৃষক বিভিন্ন প্লটে বিভিন্ন পরিমাণে সার ব্যবহার করে ধানের ফলন পরিমাপ করেছেন। এক্ষেত্রে, প্লটগুলি কাছাকাছি অবস্থিত হওয়ার কারণে ত্রুটিগুলি পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত হতে পারে। GLS ব্যবহার করে এই পারস্পরিক সম্পর্ককে বিবেচনায় নিয়ে সারের প্রভাব আরও নির্ভুলভাবে নির্ধারণ করা যেতে পারে।

GLS ব্যবহারের সুবিধা

• নির্ভুল অনুমান: GLS ত্রুটিগুলির মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক এবং অসম ভেদাঙ্ক বিবেচনা করে, তাই এটি OLS এর চেয়ে বেশি নির্ভুল অনুমান প্রদান করে।
• দক্ষ অনুমান: GLS অনুমানগুলি OLS অনুমানের চেয়ে বেশি দক্ষ, অর্থাৎ এগুলির ভেদাঙ্ক কম।
• নির্ভরযোগ্য ফলাফল: GLS ব্যবহার করে প্রাপ্ত ফলাফলগুলি আরও নির্ভরযোগ্য, যা সঠিক সিদ্ধান্ত গ্রহণে সহায়ক।

GLS ব্যবহারের অসুবিধা

• জটিলতা: GLS প্রয়োগ করা OLS এর চেয়ে জটিল, কারণ ত্রুটি কাঠামোর মডেলিং এবং ম্যাট্রিক্স অপারেশনগুলির প্রয়োজন হয়।
• অনুমানের সংবেদনশীলতা: GLS অনুমানগুলি ত্রুটি কাঠামোর মডেলের উপর সংবেদনশীল। যদি ত্রুটি কাঠামো ভুলভাবে নির্দিষ্ট করা হয়, তবে GLS অনুমানগুলি OLS অনুমানের চেয়েও খারাপ হতে পারে।
• ডেটার প্রয়োজনীয়তা: GLS এর জন্য সাধারণত OLS এর চেয়ে বেশি ডেটার প্রয়োজন হয়।

অন্যান্য প্রাসঙ্গিক বিষয়সমূহ লিনিয়ার বীজগণিত (Linear Algebra): GLS এর গাণিতিক ভিত্তি লিনিয়ার বীজগণিতের উপর নির্ভরশীল। সম্ভাব্যতা তত্ত্ব (Probability Theory): ত্রুটি কাঠামোর মডেলিংয়ের জন্য সম্ভাব্যতা তত্ত্বের ধারণাগুলি প্রয়োজন। পরিসংখ্যানিক অনুমান (Statistical Inference): GLS অনুমানের বৈশিষ্ট্য এবং নির্ভরযোগ্যতা মূল্যায়নের জন্য পরিসংখ্যানিক অনুমানের ধারণাগুলি ব্যবহার করা হয়। রিগ্রেশন বিশ্লেষণ (Regression Analysis): GLS একটি বিশেষ ধরনের রিগ্রেশন বিশ্লেষণ, যা লিনিয়ার রিগ্রেশন মডেলের ত্রুটিগুলির সমস্যা সমাধানে ব্যবহৃত হয়। সময়-সিরিজ বিশ্লেষণ (Time Series Analysis): সময়-সিরিজ ডেটার বিশ্লেষণে GLS একটি গুরুত্বপূর্ণ পদ্ধতি। অর্থ econometrics: অর্থনীতিতে রিগ্রেশন মডেলিংয়ের জন্য GLS বহুল ব্যবহৃত।

টেকনিক্যাল বিশ্লেষণ এবং ভলিউম বিশ্লেষণ

• মুভিং এভারেজ (Moving Average): সময়ের সাথে সাথে ডেটার গড় নির্ণয় করে প্রবণতা বোঝা।
• রিলেটিভ স্ট্রেন্থ ইনডেক্স (Relative Strength Index - RSI): একটি মোমেন্টাম নির্দেশক যা অতিরিক্ত কেনা বা অতিরিক্ত বিক্রির অবস্থা সনাক্ত করে।
• MACD (Moving Average Convergence Divergence): দুটি মুভিং এভারেজের মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করে ট্রেডিংয়ের সংকেত তৈরি করে।
• বলিঙ্গার ব্যান্ড (Bollinger Bands): একটি ভলাটিলিটি নির্দেশক যা বাজারের দামের ওঠানামা পরিমাপ করে।
• ভলিউম ওয়েটেড এভারেজ প্রাইস (Volume Weighted Average Price - VWAP): একটি নির্দিষ্ট সময়কালে ট্রেড করা ভলিউমের উপর ভিত্তি করে গড় মূল্য নির্ণয় করে।
• অন ব্যালেন্স ভলিউম (On Balance Volume - OBV): ভলিউম ফ্লোর উপর ভিত্তি করে বাজারের গতিবিধি বিশ্লেষণ করে।
• ফিবোনাচ্চি রিট্রেসমেন্ট (Fibonacci Retracement): সম্ভাব্য সাপোর্ট এবং রেজিস্ট্যান্স লেভেল চিহ্নিত করতে ফিবোনাচ্চি অনুপাত ব্যবহার করে।
• Elliott Wave Theory: বাজারের গতিবিধিকে Elliott Wave এর মাধ্যমে বিশ্লেষণ করা হয়।
• ক্যান্ডেলস্টিক প্যাটার্ন (Candlestick Pattern): বিভিন্ন ক্যান্ডেলস্টিক প্যাটার্ন চিহ্নিত করে বাজারের ভবিষ্যৎ গতিবিধি সম্পর্কে ধারণা পাওয়া যায়।
• ডঞ্জি চ্যানেল (Donchian Channel): বাজারের সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন মূল্যের উপর ভিত্তি করে চ্যানেল তৈরি করে ব্রেকআউট সনাক্ত করা হয়।
• Ichimoku Cloud: একটি সমন্বিত নির্দেশক যা ট্রেন্ড, সাপোর্ট এবং রেজিস্ট্যান্স লেভেল সনাক্ত করে।
• Pivot Points: পূর্ববর্তী দিনের সর্বোচ্চ, সর্বনিম্ন এবং ক্লোজিং মূল্যের উপর ভিত্তি করে সাপোর্ট এবং রেজিস্ট্যান্স লেভেল নির্ধারণ করা হয়।
• Parabolic SAR: একটি ট্রেন্ড-ফলোয়িং নির্দেশক যা সম্ভাব্য রিভার্সাল পয়েন্ট সনাক্ত করে।
• Average True Range (ATR): বাজারের ভলাটিলিটি পরিমাপ করে।
• Chaikin Money Flow (CMF): একটি ভলিউম-ভিত্তিক নির্দেশক যা বাজারের গতিবিধি বিশ্লেষণ করে।

উপসংহার Generalized Least Squares ( GLS ) একটি শক্তিশালী পরিসংখ্যানিক পদ্ধতি, যা সাধারণ লিনিয়ার রিগ্রেশন মডেলের ত্রুটিগুলির মধ্যে বিদ্যমান পারস্পরিক সম্পর্ক এবং অসম ভেদাঙ্ক মোকাবেলা করতে সহায়ক। এটি OLS এর চেয়ে বেশি নির্ভুল এবং দক্ষ অনুমান প্রদান করে, যা সঠিক সিদ্ধান্ত গ্রহণে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা রাখে। তবে, GLS প্রয়োগ করার সময় ত্রুটি কাঠামোর সঠিক মডেলিং এবং ডেটার পর্যাপ্ততা নিশ্চিত করা আবশ্যক।

(Category:Statistics)
(Category:Regression Analysis)
(Category:Statistical Modeling)
(Category:Econometrics)
(Category:Time Series Analysis)

এখনই ট্রেডিং শুরু করুন

IQ Option-এ নিবন্ধন করুন (সর্বনিম্ন ডিপোজিট $10) Pocket Option-এ অ্যাকাউন্ট খুলুন (সর্বনিম্ন ডিপোজিট $5)

আমাদের সম্প্রদায়ে যোগ দিন

আমাদের টেলিগ্রাম চ্যানেলে যোগ দিন @strategybin এবং পান: ✓ দৈনিক ট্রেডিং সংকেত ✓ একচেটিয়া কৌশলগত বিশ্লেষণ ✓ বাজারের প্রবণতা সম্পর্কে বিজ্ঞপ্তি ✓ নতুনদের জন্য শিক্ষামূলক উপকরণ