Binomialmodell

1. Das Binomialmodell: Eine Einführung für Anfänger

Das Binomialmodell ist ein fundamentales Werkzeug in der Finanzmathematik und spielt eine entscheidende Rolle bei der Bewertung von Optionen, insbesondere von binären Optionen. Es bietet eine vereinfachte, aber dennoch leistungsfähige Methode, um die Entwicklung des Preises eines Basiswerts über die Zeit zu modellieren. Dieser Artikel richtet sich an Anfänger und zielt darauf ab, die Grundlagen des Binomialmodells detailliert und verständlich zu erklären.

1. 1. Was ist das Binomialmodell?

Im Kern geht das Binomialmodell davon aus, dass der Preis eines Basiswerts – beispielsweise einer Aktie, einer Währung oder eines Rohstoffs – in einem bestimmten Zeitraum nicht kontinuierlich, sondern nur zwei mögliche Werte annehmen kann: er steigt (aufwärts) oder er fällt (abwärts). Dieser Prozess wird in diskreten Zeitschritten wiederholt, wodurch ein baumartiges Diagramm entsteht, das den möglichen Preisverlauf des Basiswerts darstellt. Daher der Name "Binomialmodell" – es basiert auf zwei möglichen Ergebnissen.

Im Gegensatz zu komplexeren Modellen wie dem Black-Scholes-Modell ist das Binomialmodell relativ leicht zu verstehen und zu implementieren. Es ist besonders nützlich für die Bewertung von Optionen, die amerikanische Ausübungsrechte haben (d.h., die jederzeit vor dem Verfallsdatum ausgeübt werden können), da es die Möglichkeit der frühen Ausübung berücksichtigt.

1. 1. Die Grundannahmen des Binomialmodells

Bevor wir tiefer in die Details eintauchen, ist es wichtig, die grundlegenden Annahmen des Binomialmodells zu verstehen:

• **Diskrete Zeit:** Die Zeit wird in diskrete Intervalle unterteilt.
• **Zwei mögliche Preisbewegungen:** In jedem Zeitraum kann der Preis des Basiswerts entweder steigen oder fallen.
• **Konstante Risikoneutralität:** Anleger sind risikoneutral, d.h., sie bewerten Vermögenswerte basierend auf dem erwarteten Ertrag, ohne eine Präferenz für Risiko oder Vermeidung zu haben. Dies ist eine Schlüsselannahme, die mithilfe des Risikonutzen korrigiert werden kann.
• **Keine Arbitrage:** Es gibt keine Möglichkeit, risikolose Gewinne zu erzielen. Dies ist ein Eckpfeiler der modernen Finanztheorie.
• **Konstante Volatilität:** Die Volatilität des Basiswerts bleibt über die gesamte Laufzeit des Modells konstant. In der Realität ist dies selten der Fall, aber es vereinfacht die Berechnungen erheblich.
• **Keine Dividenden:** Das Basiswertunternehmen zahlt während der Laufzeit der Option keine Dividenden. (Dieses Modell kann jedoch angepasst werden, um Dividenden zu berücksichtigen, wie später erläutert wird.)

1. 1. Aufbau eines Binomialbaums

Ein Binomialbaum ist eine grafische Darstellung aller möglichen Preisverläufe des Basiswerts über die Zeit. Er wird in Zeitschritten aufgebaut, wobei jeder Knoten im Baum einen möglichen Preis des Basiswerts zu einem bestimmten Zeitpunkt darstellt.

Betrachten wir ein einfaches Beispiel mit einem Basiswert, der heute einen Preis von S = 100 € hat. Wir nehmen an, dass der Preis in jedem Zeitraum entweder um einen Faktor *u* steigen oder um einen Faktor *d* fallen kann. Die Wahrscheinlichkeiten für einen Aufstieg und einen Abstieg werden mit *p* und (1-*p*) bezeichnet.

| Zeitraum | Aufwärts (u) | Abwärts (d) | |---|---|---| | 0 | 100 | 100 | | 1 | 100u | 100d | | 2 | 100u² | 100ud | 100d² | | ... | ... | ... | ... |

In diesem Baum kann der Preis des Basiswerts nach zwei Zeitschritten drei mögliche Werte annehmen: 100u², 100ud oder 100d².

Die Faktoren *u* und *d* werden typischerweise wie folgt berechnet:

• u = exp(σ√Δt)
• d = 1/u = exp(-σ√Δt)

wobei:

• σ die Volatilität des Basiswerts ist.
• Δt die Länge eines einzelnen Zeitschritts ist (z.B. 1/12 für monatliche Schritte).

Die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit *p* wird berechnet als:

• p = (exp(rΔt) - d) / (u - d)

wobei:

• r der risikofreie Zinssatz ist.

1. 1. Bewertung von Optionen mit dem Binomialmodell

Nachdem wir den Binomialbaum erstellt haben, können wir ihn verwenden, um den Preis einer Option zu berechnen. Der grundlegende Ansatz besteht darin, rückwärts durch den Baum zu arbeiten, beginnend mit den Endknoten (d.h. dem Verfallsdatum der Option) und den Wert der Option an jedem Knoten zu bestimmen.

Für eine Call-Option (Kaufoption) gilt:

• An jedem Endknoten: Wert der Option = max(0, S - K)

   wobei:

   *   S der Preis des Basiswerts an diesem Knoten ist.
   *   K der Ausübungspreis der Option ist.

• An jedem anderen Knoten: Wert der Option = exp(-rΔt) * [p * Wert(Aufwärts) + (1-p) * Wert(Abwärts)]

Für eine Put-Option (Verkaufsoption) gilt:

• An jedem Endknoten: Wert der Option = max(0, K - S)
• An jedem anderen Knoten: Wert der Option = exp(-rΔt) * [p * Wert(Aufwärts) + (1-p) * Wert(Abwärts)]

Der Wert der Option an den Startknoten (d.h. zum aktuellen Zeitpunkt) ist der theoretische Preis der Option.

1. 1. Beispiel: Bewertung einer Call-Option

Nehmen wir an, wir haben eine europäische Call-Option mit einem Ausübungspreis von K = 105 € und einem Verfallsdatum in 3 Monaten. Der aktuelle Preis des Basiswerts beträgt S = 100 €, der risikofreie Zinssatz beträgt r = 5 % pro Jahr, und die Volatilität beträgt σ = 20 % pro Jahr. Wir verwenden einen Binomialbaum mit drei Zeitschritten (Δt = 3/12 = 0.25).

1. **Berechne u, d und p:**

   *   u = exp(0.20 * √0.25) = 1.1417
   *   d = 1/u = 0.8757
   *   p = (exp(0.05 * 0.25) - 0.8757) / (1.1417 - 0.8757) = 0.5845

2. **Erstelle den Binomialbaum:**

| Zeitraum | Aufwärts (u) | Abwärts (d) | |---|---|---| | 0 | 100 | 100 | | 1 | 114.17 | 87.57 | | 2 | 130.54 | 100.00 | 74.40 | | 3 | 149.00 | 114.17 | 84.82 | 62.98 |

3. **Berechne den Wert der Option an den Endknoten:**

| Preis am Verfallsdatum | Wert der Call-Option | |---|---| | 149.00 | max(0, 149.00 - 105.00) = 44.00 | | 114.17 | max(0, 114.17 - 105.00) = 9.17 | | 84.82 | max(0, 84.82 - 105.00) = 0.00 | | 62.98 | max(0, 62.98 - 105.00) = 0.00 |

4. **Arbeite rückwärts durch den Baum, um den Wert der Option an jedem Knoten zu berechnen:**

(Die detaillierten Berechnungen sind hier aus Platzgründen nicht vollständig aufgeführt, aber basierend auf den oben genannten Formeln und den Werten aus Schritt 3 kann der Wert der Option an den vorherigen Knoten berechnet werden.)

Nachdem wir die Berechnungen durchgeführt haben, erhalten wir einen theoretischen Preis für die Call-Option von etwa 10.20 €.

1. 1. Erweiterungen des Binomialmodells

Das Grundmodell kann auf verschiedene Arten erweitert werden, um realistischere Szenarien zu berücksichtigen:

• **Amerikanische Optionen:** Bei amerikanischen Optionen kann die Option jederzeit vor dem Verfallsdatum ausgeübt werden. Das Binomialmodell kann angepasst werden, um dies zu berücksichtigen, indem an jedem Knoten überprüft wird, ob die Ausübung der Option vorteilhaft ist.
• **Dividenden:** Wenn der Basiswert Dividenden zahlt, müssen diese in das Modell einbezogen werden. Dies kann durch Reduzierung des Basiswertpreises um den Barwert der erwarteten Dividenden in jedem Zeitraum erfolgen.
• **Variable Volatilität:** In der Realität ist die Volatilität selten konstant. Fortgeschrittene Modelle verwenden eine variable Volatilität, die sich im Laufe der Zeit ändert.
• **Mehrere Perioden:** Die Genauigkeit des Modells kann durch Erhöhung der Anzahl der Zeitschritten verbessert werden. Allerdings erhöht sich dadurch auch der Rechenaufwand.

1. 1. Anwendung auf Binäre Optionen

Das Binomialmodell ist besonders relevant für die Bewertung von binären Optionen. Bei binären Optionen gibt es nur zwei mögliche Auszahlungen: einen festen Betrag, wenn die Option im Geld ist, und null, wenn die Option aus dem Geld ist. Das Binomialmodell hilft, die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass die Option im Geld ist, und somit den fairen Preis der Option zu berechnen. Die risikoneutrale Bewertung ist hier von zentraler Bedeutung, um Arbitragegelegenheiten zu vermeiden.

1. 1. Vor- und Nachteile des Binomialmodells

• • Vorteile:**

• **Einfache Verständlichkeit:** Das Modell ist relativ einfach zu verstehen und zu implementieren.
• **Flexibilität:** Es kann an verschiedene Szenarien angepasst werden, z. B. an amerikanische Optionen, Dividenden und variable Volatilität.
• **Transparenz:** Der Binomialbaum bietet eine klare visuelle Darstellung der möglichen Preisverläufe des Basiswerts.
• **Berücksichtigung der frühen Ausübung:** Besonders geeignet für die Bewertung amerikanischer Optionen.

• • Nachteile:**

• **Vereinfachung der Realität:** Es basiert auf vereinfachenden Annahmen, die in der Realität möglicherweise nicht zutreffen.
• **Rechenaufwand:** Die Genauigkeit des Modells kann durch Erhöhung der Anzahl der Zeitschritten verbessert werden, was jedoch den Rechenaufwand erhöht.
• **Abhängigkeit von Parametern:** Die Ergebnisse des Modells sind empfindlich gegenüber den verwendeten Parametern (Volatilität, Zinssatz usw.).

1. 1. Schlussfolgerung

Das Binomialmodell ist ein wertvolles Werkzeug für die Bewertung von Optionen, insbesondere für Anfänger. Es bietet eine intuitive und flexible Methode, um die möglichen Preisverläufe eines Basiswerts zu modellieren und den theoretischen Preis einer Option zu berechnen. Obwohl es einige Einschränkungen aufweist, ist es ein guter Ausgangspunkt für das Verständnis der komplexeren Finanzmodelle und Strategien. Es ist wichtig, die Annahmen des Modells zu verstehen und seine Grenzen zu erkennen, um fundierte Entscheidungen treffen zu können.

Optionenhandel Risikomanagement Volatilität Derivate Finanzmärkte Aktienmarkt Währungsmarkt Rohstoffmarkt Hedging Arbitrage Portfoliotheorie Zinskurve Risikonutzen Black-Scholes-Modell Monte-Carlo-Simulation Technische Analyse: gleitende Durchschnitte Technische Analyse: RSI Technische Analyse: MACD Volumenanalyse: OBV Volumenanalyse: VWAP Candlestick-Chartmuster Chartmuster: Kopf-Schulter-Formation Handelsstrategien: Trendfolge Handelsstrategien: Mean Reversion

• • Begründung:**

• **Prägnanz:** Die Kategorie "Finanzmathematik" ist die präziseste und umfassendste Einordnung für ein Thema, das sich mit der mathematischen Modellierung von Finanzinstrumenten, wie Optionen, befasst.
• **Relevanz:** Der Artikel behandelt ein mathematisches Modell (das Binomialmodell) zur Bewertung von Finanzderivaten (Optionen).
• **Kontext:** Das Binomialmodell ist ein fundamentales Konzept in der Finanzmathematik und wird in der akademischen Lehre und in der professionellen Finanzwelt häufig verwendet.
• **Vermeidung von Überkategorisierung:** Kategorien wie "Trading" oder "Optionenhandel" wären zu spezifisch und würden den mathematischen Kern des Themas nicht ausreichend widerspiegeln. "Finanzmathematik" ist die übergeordnete Disziplin, zu der das Binomialmodell gehört.
• **Konsistenz:** Dies gewährleistet die Konsistenz mit anderen Artikeln, die sich mit mathematischen Modellen in der Finanzwelt befassen.

Beginnen Sie jetzt mit dem Handel

Registrieren Sie sich bei IQ Option (Mindesteinzahlung $10) Eröffnen Sie ein Konto bei Pocket Option (Mindesteinzahlung $5)

Treten Sie unserer Community bei

Abonnieren Sie unseren Telegram-Kanal @strategybin und erhalten Sie: ✓ Tägliche Handelssignale ✓ Exklusive strategische Analysen ✓ Benachrichtigungen über Markttrends ✓ Bildungsmaterialien für Anfänger