Black-Scholes-Modell

Black-Scholes-Modell

Das Black-Scholes-Modell, auch bekannt als Black-Scholes-Merton-Modell, ist eine mathematische Formel zur Bewertung von Optionen. Es wurde 1973 von Fischer Black, Myron Scholes und Robert Merton entwickelt. Obwohl das ursprüngliche Modell für europäische Optionen konzipiert wurde (Optionen, die nur am Verfallstag ausgeübt werden können), dient es als Grundlage für die Bewertung vieler anderer Derivate, einschließlich binärer Optionen. Das Verständnis des Black-Scholes-Modells ist für jeden Händler, der sich mit Derivaten beschäftigt, von entscheidender Bedeutung, auch wenn es Einschränkungen aufweist (siehe Abschnitt "Kritik und Einschränkungen").

Historischer Hintergrund

Die Entwicklung des Black-Scholes-Modells war ein Durchbruch in der Finanzwelt. Vor 1973 gab es keine allgemein akzeptierte Methode zur Bewertung von Optionen. Der Optionshandel war weitgehend spekulativ und basierte auf Intuition. Black und Scholes entwickelten ein mathematisches Modell, das den theoretischen Wert einer Option basierend auf einer Reihe von Variablen berechnet. Merton erweiterte das Modell, um die Auswirkungen von Dividenden zu berücksichtigen. Scholes und Merton erhielten 1997 den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften für ihre Arbeit. Black war zu diesem Zeitpunkt verstorben und konnte den Preis daher nicht entgegennehmen.

Grundlagen des Modells

Das Black-Scholes-Modell basiert auf einer Reihe von Annahmen, die idealisierte Marktbedingungen darstellen. Diese Annahmen sind wichtig zu verstehen, da sie die Grenzen des Modells definieren. Zu den wichtigsten Annahmen gehören:

Effizienter Markt: Der Markt ist effizient, d.h. alle relevanten Informationen sind bereits im Preis des Basiswerts enthalten.
Keine Transaktionskosten: Es fallen keine Kosten für den Kauf oder Verkauf des Basiswerts oder der Option an.
Konstante Volatilität: Die Volatilität des Basiswerts ist über die gesamte Laufzeit der Option konstant.
Risikoloser Zinssatz: Der risikolose Zinssatz ist über die gesamte Laufzeit der Option konstant.
Log-Normalverteilung: Die Preisänderungen des Basiswerts folgen einer Log-Normalverteilung.
Kontinuierlicher Handel: Der Handel mit dem Basiswert und der Option ist jederzeit möglich.
Keine Arbitrage: Es gibt keine Möglichkeiten, risikolose Gewinne zu erzielen.

Die Black-Scholes-Formel

Die Black-Scholes-Formel für den Preis einer europäischen Call-Option lautet:

C = S * N(d1) - K * e^(-rT) * N(d2)

Dabei gilt:

C: Preis der Call-Option
S: Aktueller Preis des Basiswerts
K: Ausübungspreis der Option (Strike Price)
r: Risikoloser Zinssatz (jährlich, kontinuierlich verzinst)
T: Laufzeit der Option in Jahren
e: Eulersche Zahl (ca. 2,71828)
N(x): Kumulative Normalverteilungsfunktion
d1 = (ln(S/K) + (r + σ^2/2) * T) / (σ * √T)
d2 = d1 - σ * √T
σ: Volatilität des Basiswerts (jährlich)

Die Formel für den Preis einer europäischen Put-Option lautet:

P = K * e^(-rT) * N(-d2) - S * N(-d1)

Die Variablen sind die gleichen wie bei der Call-Option-Formel.

Erklärung der Variablen

S (Aktueller Preis des Basiswerts): Der aktuelle Marktpreis des Vermögenswerts, auf den die Option basiert.
K (Ausübungspreis): Der Preis, zu dem der Basiswert gekauft (bei einer Call-Option) oder verkauft (bei einer Put-Option) werden kann.
r (Risikoloser Zinssatz): Der Zinssatz, der für eine risikofreie Anlage über die Laufzeit der Option erzielt werden kann (z.B. Staatsanleihen).
T (Laufzeit): Die verbleibende Zeit bis zum Verfall der Option, ausgedrückt in Jahren.
σ (Volatilität): Ein Maß dafür, wie stark der Preis des Basiswerts voraussichtlich schwanken wird. Die Volatilität ist der wichtigste und am schwierigsten zu schätzende Parameter. Volatilitätsanalyse ist ein wichtiger Bestandteil der Optionsbewertung.
N(x) (Kumulative Normalverteilungsfunktion): Eine statistische Funktion, die die Wahrscheinlichkeit angibt, dass eine normalverteilte Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich x annimmt.

Anwendung auf binäre Optionen

Obwohl das Black-Scholes-Modell ursprünglich für europäische Optionen entwickelt wurde, kann es angepasst werden, um den Wert einer binären Option zu approximieren. Binäre Optionen bieten eine feste Auszahlung, wenn die Option "im Geld" (ITM) verfällt, und nichts, wenn sie "aus dem Geld" (OTM) verfällt.

Die Anpassung beinhaltet im Wesentlichen die Verwendung der kumulativen Normalverteilungsfunktion, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass der Preis des Basiswerts am Verfallstag über (bei einer Call-Option) oder unter (bei einer Put-Option) dem Ausübungspreis liegt. Diese Wahrscheinlichkeit wird dann mit der festen Auszahlung multipliziert, um den theoretischen Wert der binären Option zu erhalten.

Die Formel zur Bewertung einer binären Call-Option lautet:

Preis = e^(-rT) * N(d1)

Und für eine binäre Put-Option:

Preis = e^(-rT) * N(-d1)

Dabei sind die Variablen wie oben definiert. Beachten Sie, dass die Auszahlung implizit 1 ist, da die Formel den diskontierten erwarteten Wert der Auszahlung berechnet.

Sensitivitätsanalyse (Die "Greeks")

Die "Greeks" sind Sensitivitätsmaße, die angeben, wie sich der Preis einer Option in Reaktion auf Änderungen der zugrunde liegenden Variablen ändert. Sie sind wichtige Werkzeuge für das Risikomanagement.

Delta: Misst die Änderung des Optionspreises in Bezug auf eine Änderung des Preises des Basiswerts.
Gamma: Misst die Änderung des Delta in Bezug auf eine Änderung des Preises des Basiswerts.
Theta: Misst die Änderung des Optionspreises in Bezug auf die Zeit (Zeitverfall).
Vega: Misst die Änderung des Optionspreises in Bezug auf eine Änderung der Volatilität.
Rho: Misst die Änderung des Optionspreises in Bezug auf eine Änderung des risikolosen Zinssatzes.

Das Verständnis der Greeks ist entscheidend, um die Risiken und Chancen zu bewerten, die mit dem Handel mit Optionen verbunden sind.

Implizite Volatilität

Die implizite Volatilität ist die Volatilität, die in den aktuellen Marktpreis einer Option eingepreist ist. Sie wird nicht direkt beobachtet, sondern aus dem Optionspreis mithilfe des Black-Scholes-Modells rückberechnet. Die implizite Volatilität ist ein wichtiger Indikator für die Markterwartungen hinsichtlich der zukünftigen Volatilität des Basiswerts. Volatilitätsflächen zeigen die implizite Volatilität für verschiedene Ausübungspreise und Laufzeiten.

Kritik und Einschränkungen

Trotz seiner weitverbreiteten Anwendung hat das Black-Scholes-Modell eine Reihe von Einschränkungen:

Annahmen: Die Annahmen des Modells (z.B. konstante Volatilität) sind in der Realität oft nicht erfüllt.
Schwere Schwänze: Die Log-Normalverteilung unterschätzt die Wahrscheinlichkeit extremer Ereignisse (sogenannte "Fat Tails").
Sprünge: Das Modell berücksichtigt keine Sprünge im Preis des Basiswerts.
Dividenden: Die Berücksichtigung von Dividenden kann komplex sein und das Modell weniger genau machen.
Amerikanische Optionen: Das Modell ist nicht direkt für amerikanische Optionen geeignet, die jederzeit ausgeübt werden können.

Diese Einschränkungen führen dazu, dass das Black-Scholes-Modell oft nur eine Näherung des tatsächlichen Optionspreises liefert. Komplexere Modelle wie das Heston-Modell oder das Bates-Modell versuchen, einige dieser Einschränkungen zu beheben.

Praktische Anwendung und Tipps

**Verwenden Sie das Modell als Ausgangspunkt:** Betrachten Sie das Black-Scholes-Modell als einen Ausgangspunkt für Ihre Analyse, nicht als die endgültige Antwort.
**Berücksichtigen Sie die Einschränkungen:** Seien Sie sich der Einschränkungen des Modells bewusst und passen Sie Ihre Erwartungen entsprechend an.
**Achten Sie auf die Volatilität:** Die Volatilität ist der wichtigste Parameter im Modell. Verwenden Sie verschiedene Methoden, um die Volatilität zu schätzen und zu analysieren.
**Verwenden Sie Griechische Buchstaben, um Risiken zu managen:** Nutzen Sie die Greeks, um Ihre Positionen zu hedgen und das Risiko zu managen.
**Kombinieren Sie das Modell mit anderen Analysen:** Verwenden Sie das Black-Scholes-Modell in Kombination mit technischer Analyse, Fundamentalanalyse und Volumenanalyse, um ein umfassenderes Bild des Marktes zu erhalten.

Weitere Ressourcen

Siehe auch

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