বাইনোমিয়াল মডেল

বাইনোমিয়াল মডেল

বাইনোমিয়াল মডেল একটি আর্থিক মডেল যা কোনো সম্পদের দাম সময়ের সাথে সাথে কীভাবে পরিবর্তিত হতে পারে তা বর্ণনা করে। এটি মূলত বাইনোমিয়াল ট্রি-এর ধারণার উপর ভিত্তি করে তৈরি, যেখানে একটি নির্দিষ্ট সময়কালে সম্পদের দাম দুটি সম্ভাব্য পথে অগ্রসর হতে পারে: বৃদ্ধি (আপ মুভ) অথবা হ্রাস (ডাউন মুভ)। এই মডেলটি ডেরিভেটিভ-এর মূল্য নির্ধারণের জন্য বিশেষভাবে উপযোগী, বিশেষ করে বাইনারি অপশন এবং আমেরিকান অপশন-এর ক্ষেত্রে।

মডেলের মূল ধারণা

বাইনোমিয়াল মডেলের মূল ধারণা হলো, কোনো সম্পদের দাম একটি নির্দিষ্ট সময়কালে হয় বাড়বে, না হয় কমবে। এই পরিবর্তনগুলো কোনো র‍্যান্ডম ওয়াক অনুসরণ করে। প্রতিটি সময়কালে, দামের পরিবর্তনের একটি নির্দিষ্ট সম্ভাবনা থাকে। এই সম্ভাবনাগুলো মডেলের গুরুত্বপূর্ণ উপাদান।

সময়কাল (Time Period): মডেলটি একটি নির্দিষ্ট সময়কালের জন্য তৈরি করা হয়, যা বছর, মাস বা দিন হতে পারে।
আপ ফ্যাক্টর (Up Factor): এটি সেই হার যা নির্দেশ করে দাম একটি সময়কালে কতটা বাড়তে পারে। সাধারণত 'u' দিয়ে চিহ্নিত করা হয়।
ডাউন ফ্যাক্টর (Down Factor): এটি সেই হার যা নির্দেশ করে দাম একটি সময়কালে কতটা কমতে পারে। সাধারণত 'd' দিয়ে চিহ্নিত করা হয়।
ঝুঁকি নিরপেক্ষ সম্ভাবনা (Risk-Neutral Probability): এটি আপ মুভের সম্ভাবনা, যা ঝুঁকি নিরপেক্ষ বিশ্বে গণনা করা হয়। সাধারণত 'p' দিয়ে চিহ্নিত করা হয়।
ডিসকাউন্ট হার (Discount Rate): এটি সেই হার যা ভবিষ্যতের নগদ প্রবাহকে বর্তমান মূল্যে আনতে ব্যবহৃত হয়। সাধারণত 'r' দিয়ে চিহ্নিত করা হয়।

বাইনোমিয়াল ট্রি গঠন

বাইনোমিয়াল ট্রি হলো এই মডেলের ভিত্তি। এটি একটি গাছের মতো কাঠামো, যেখানে প্রতিটি নোড একটি নির্দিষ্ট সময়ে সম্পদের সম্ভাব্য মূল্য উপস্থাপন করে।

সময়	মূল্য	০	S₀	১	S₀u অথবা S₀d	২	S₀u² অথবা S₀ud অথবা S₀d²	...	...

এখানে, S₀ হলো বর্তমান সম্পদ মূল্য। প্রতিটি নোড থেকে দুটি শাখা বের হয়: একটি আপ মুভের জন্য (u গুণিতক) এবং অন্যটি ডাউন মুভের জন্য (d গুণিতক)। এই প্রক্রিয়াটি মডেলের সময়কাল পর্যন্ত চলতে থাকে।

মডেলের গণনা

বাইনোমিয়াল মডেল ব্যবহার করে অপশনের মূল্য নির্ধারণ করার জন্য, নিম্নলিখিত ধাপগুলো অনুসরণ করা হয়:

১. শেষ নোডগুলোর মূল্য নির্ধারণ: ট্রি-এর একেবারে শেষ নোডগুলোতে অপশনের পে-অফ (payoff) গণনা করা হয়। বাইনারি অপশনের ক্ষেত্রে, এটি হয় একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ (যদি অপশনটি ইন-দ্য-মানি থাকে) অথবা শূন্য (যদি অপশনটি আউট-অফ-দ্য-মানি থাকে)।

২. ব্যাকওয়ার্ড ইন্ডাকশন (Backward Induction): শেষ নোড থেকে শুরু করে, পূর্ববর্তী নোডগুলোর অপশন মূল্য গণনা করা হয়। প্রতিটি নোডে, অপশনের মূল্য হলো পরবর্তী দুটি নোডের প্রত্যাশিত পে-অফের বর্তমান মূল্যের সমান।

ফর্মুলা:

অপশন মূল্য (C) = e^(-rΔt) [pC(u) + (1-p)C(d)]

এখানে:

r = ডিসকাউন্ট হার
Δt = সময়কাল
p = ঝুঁকি নিরপেক্ষ সম্ভাবনা
C(u) = আপ মুভের পরবর্তী নোডের অপশন মূল্য
C(d) = ডাউন মুভের পরবর্তী নোডের অপশন মূল্য

এই প্রক্রিয়াটি পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে চলতে থাকে যতক্ষণ না বর্তমান সময়ের (সময় ০) অপশন মূল্য গণনা করা হয়।

ঝুঁকি নিরপেক্ষ সম্ভাবনা (Risk-Neutral Probability) নির্ণয়

ঝুঁকি নিরপেক্ষ সম্ভাবনা (p) একটি গুরুত্বপূর্ণ উপাদান। এটি নিম্নলিখিত সূত্রের মাধ্যমে গণনা করা হয়:

p = (e^(rΔt) - d) / (u - d)

এখানে:

r = ডিসকাউন্ট হার
Δt = সময়কাল
u = আপ ফ্যাক্টর
d = ডাউন ফ্যাক্টর

এই সম্ভাবনাটি এমন একটি সম্ভাবনা যা ঝুঁকি নিরপেক্ষ বিশ্বে প্রত্যাশিত রিটার্নকে সমান করে।