দ্বিঘাতীয় বিনোমিয়াল ট্রি মডেল

ভূমিকা

দ্বিঘাতীয় বিনোমিয়াল ট্রি মডেল (Binomial Tree Model) একটি গুরুত্বপূর্ণ ফিনান্সিয়াল মডেল যা কোনো সম্পদের দাম সময়ের সাথে সাথে কীভাবে পরিবর্তিত হতে পারে তা বিশ্লেষণ করতে ব্যবহৃত হয়। এই মডেলটি মূলত ডেরিভেটিভ-এর মূল্য নির্ধারণের জন্য তৈরি করা হয়েছে, বিশেষ করে বাইনারি অপশন এবং আমেরিকান অপশন-এর ক্ষেত্রে এটি বিশেষভাবে উপযোগী। অর্থনীতিবিদ জন হুল (John Hull) এই মডেলের বিকাশে গুরুত্বপূর্ণ অবদান রেখেছেন। এই নিবন্ধে, আমরা দ্বিঘাতীয় বিনোমিয়াল ট্রি মডেলের মূল ধারণা, গঠন, প্রয়োগ এবং সীমাবদ্ধতা নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা করব।

মডেলের মূল ধারণা

এই মডেলের মূল ধারণাটি হলো, একটি নির্দিষ্ট সময়সীমার মধ্যে কোনো সম্পদের দাম হয় বাড়বে, না হয় কমবে – এই দুইটি সম্ভাবনার ওপর ভিত্তি করে ভবিষ্যৎ মূল্য নির্ধারণ করা হয়। এই সময়সীমাটিকে একাধিক ছোট ছোট ধাপে (time step) ভাগ করা হয়। প্রতিটি ধাপে দাম বাড়া বা কমার সম্ভাবনা থাকে এবং এই সম্ভাবনাগুলো ঝুঁকির নিরপেক্ষ মূল্যায়ন (risk-neutral valuation) পদ্ধতির মাধ্যমে গণনা করা হয়।

মডেলের গঠন

দ্বিঘাতীয় বিনোমিয়াল ট্রি মডেল একটি গাছের মতো কাঠামো তৈরি করে, যেখানে প্রতিটি শাখা একটি নির্দিষ্ট সময় ধাপে দামের সম্ভাব্য পরিবর্তন নির্দেশ করে।

সময় ধাপ: মডেলের সময়সীমাকে 'n' সংখ্যক ছোট ছোট ধাপে ভাগ করা হয়। প্রতিটি ধাপের দৈর্ঘ্য Δt (ডেল্টা টি)।
আপ মুভমেন্ট (u): প্রতিটি সময় ধাপে দাম কতটা বাড়তে পারে, তা 'u' দ্বারা নির্দেশ করা হয়।
ডাউন মুভমেন্ট (d): প্রতিটি সময় ধাপে দাম কতটা কমতে পারে, তা 'd' দ্বারা নির্দেশ করা হয়।
ঝুঁকি নিরপেক্ষ সুদের হার (r): এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ উপাদান, যা বিনিয়োগের ওপর প্রত্যাশিত রিটার্ন নির্দেশ করে।

এই উপাদানগুলোর মধ্যে সম্পর্ক নিম্নরূপ:

u = e^(rΔt) d = 1/u = e^(-rΔt)

এখানে, 'e' হলো স্বাভাবিক লগারিদমের ভিত্তি।

সময় ধাপ	দামের পরিবর্তন		S₀ \|	Su অথবা Sd \|	Suu, Sud অথবা Sdd \|	... \|	S_n \|

মডেলের প্রয়োগ

দ্বিঘাতীয় বিনোমিয়াল ট্রি মডেল ব্যবহার করে অপশনের মূল্য নির্ধারণ করা হয়। এই প্রক্রিয়াটি ব্যাকওয়ার্ড ইন্ডাকশন (backward induction) পদ্ধতির মাধ্যমে সম্পন্ন করা হয়।

১. শেষের নোডগুলোর মূল্য নির্ধারণ: সময়সীমার শেষে অপশনের মূল্য নির্ধারণ করা হয়। এক্ষেত্রে, কল অপশনের মূল্য হবে max(S_n - K, 0) এবং পুট অপশনের মূল্য হবে max(K - S_n, 0), যেখানে K হলো স্ট্রাইক প্রাইস।

২. ব্যাকওয়ার্ড ইন্ডাকশন: শেষ নোড থেকে শুরু করে পিছনের দিকে প্রতিটি নোডের মূল্য গণনা করা হয়। প্রতিটি নোডের মূল্য হলো পরবর্তী দুটি নোডের প্রত্যাশিত মূল্যের বর্তমান মূল্য (present value)।

E[Option Value] = e^(-rΔt) [p * Option Value (Up) + (1-p) * Option Value (Down)]

এখানে, 'p' হলো দাম বাড়ার সম্ভাবনা।

এইভাবে, প্রতিটি নোডের মূল্য গণনা করে মডেলটি অপশনের সঠিক মূল্য নির্ধারণ করতে সাহায্য করে।

ঝুঁকি নিরপেক্ষ সম্ভাবনা (Risk-Neutral Probability)

ঝুঁকি নিরপেক্ষ সম্ভাবনা (p) একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা। এটি এমন একটি সম্ভাবনা যা সম্পদটির দাম বাড়া বা কমার সম্ভাবনাকে ঝুঁকির নিরপেক্ষ দৃষ্টিকোণ থেকে বিবেচনা করে। এই সম্ভাবনা নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:

p = (e^(rΔt) - d) / (u - d)

ঝুঁকি নিরপেক্ষ সম্ভাবনা ব্যবহার করে, আমরা এমন একটি প্রত্যাশিত রিটার্ন পাই যা ঝুঁকির নিরপেক্ষ সুদের হারের সমান।

বাইনারি অপশন ট্রেডিং-এ এই মডেলের ব্যবহার

বাইনারি অপশন ট্রেডিং-এ এই মডেলটি বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ। বাইনারি অপশন হলো এমন একটি আর্থিক চুক্তি, যেখানে বিনিয়োগকারী একটি নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে কোনো সম্পদের দাম একটি নির্দিষ্ট স্তরের উপরে বা নিচে যাবে কিনা তা অনুমান করে। দ্বিঘাতীয় বিনোমিয়াল ট্রি মডেল ব্যবহার করে এই অপশনের মূল্য নির্ধারণ এবং ট্রেডিংয়ের সিদ্ধান্ত নেওয়া যায়।

উদাহরণস্বরূপ, যদি একজন বিনিয়োগকারী মনে করেন যে একটি নির্দিষ্ট স্টকের দাম আগামী ৩০ দিনে $৫০-এর উপরে যাবে, তবে তিনি একটি কল বাইনারি অপশন কিনতে পারেন। এই ক্ষেত্রে, দ্বিঘাতীয় বিনোমিয়াল ট্রি মডেল ব্যবহার করে এই অপশনের প্রিমিয়াম (premium) নির্ধারণ করা যেতে পারে।

মডেলের সীমাবদ্ধতা

দ্বিঘাতীয় বিনোমিয়াল ট্রি মডেল একটি শক্তিশালী টুল হলেও এর কিছু সীমাবদ্ধতা রয়েছে:

সরলীকরণ: এই মডেলটি দামের পরিবর্তনকে শুধুমাত্র দুটি দিকে (up or down) সীমাবদ্ধ করে, যা বাস্তব বাজারের জটিলতাকে সম্পূর্ণরূপে প্রতিফলিত করে না।
সময় ধাপের সংখ্যা: সময় ধাপের সংখ্যা যত কম হবে, মডেলের নির্ভুলতা তত কম হবে। সময় ধাপের সংখ্যা বাড়ালে নির্ভুলতা বাড়ে, কিন্তু গণনার জটিলতাও বৃদ্ধি পায়।
ধ্রুবক অস্থিরতা: মডেলটি ধরে নেয় যে সময়ের সাথে সাথে সম্পদের অস্থিরতা (volatility) ধ্রুবক থাকে, যা বাস্তবে প্রায়শই পরিবর্তনশীল হয়।

উন্নত মডেল

এই মডেলের সীমাবদ্ধতা দূর করার জন্য আরও উন্নত মডেল ব্যবহার করা হয়, যেমন:

ত্রিনোমিয়াল ট্রি মডেল: এই মডেলে দাম তিনটি দিকে পরিবর্তিত হতে পারে - উপরে, নিচে এবং একই স্থানে।
ব্ল্যাক-স্কোলস মডেল: এটি একটি বহুল ব্যবহৃত অপশন মূল্য নির্ধারণ মডেল, যা ক্রমাগত সময় এবং লগ-নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন (log-normal distribution) ব্যবহার করে।
মন্টে কার্লো সিমুলেশন: এই পদ্ধতিতে র্যান্ডম সংখ্যা ব্যবহার করে সম্ভাব্য দামের পরিস্থিতি তৈরি করা হয় এবং অপশনের মূল্য নির্ধারণ করা হয়।

ব্যবহারিক উদাহরণ

ধরা যাক, একটি স্টকের বর্তমান মূল্য $১০০। আমরা ৩ মাস (n=3) সময়সীমার জন্য একটি বিনোমিয়াল ট্রি মডেল তৈরি করতে চাই। ঝুঁকি নিরপেক্ষ সুদের হার (r) ৫% এবং অস্থিরতা (σ) ২০%।

১. Δt গণনা: Δt = ৩/১২ = ০.২৫ বছর।

২. u এবং d গণনা: u = e^(0.05 * 0.25) = 1.0125 d = 1/u = 0.9876

৩. ঝুঁকি নিরপেক্ষ সম্ভাবনা (p) গণনা: p = (1.0125 - 0.9876) / (1.0125 - 0.9876) = 0.5

৪. ট্রি তৈরি:

সময় ধাপ	দাম		$১০০ \|	$১০০ * 1.0125 = $১০১.২৫ অথবা $১০০ * 0.9876 = $৯৮.৭৬ \|	$১০১.২৫ * 1.0125 = $১০২.৫২, $১০১.২৫ * 0.9876 = $১০০.০০, $৯৮.৭৬ * 1.0125 = $৯৯.৯৯, $৯৮.৭৬ * 0.9876 = $৯৭.৫৬ \|	... \|

এই ট্রি ব্যবহার করে, আমরা প্রতিটি নোডের অপশন মূল্য গণনা করতে পারি এবং বর্তমান মূল্য নির্ধারণ করতে পারি।

উপসংহার

দ্বিঘাতীয় বিনোমিয়াল ট্রি মডেল একটি শক্তিশালী এবং বহুল ব্যবহৃত ফিনান্সিয়াল মডেল। এটি অপশনের মূল্য নির্ধারণ, ঝুঁকি ব্যবস্থাপনা এবং বিনিয়োগের সিদ্ধান্ত গ্রহণে সহায়ক। যদিও এই মডেলের কিছু সীমাবদ্ধতা রয়েছে, তবুও এটি ফিনান্সিয়াল মার্কেটের মৌলিক ধারণাগুলো বুঝতে এবং প্রয়োগ করতে একটি মূল্যবান হাতিয়ার। ফিনান্সিয়াল ইঞ্জিনিয়ারিং এবং ঝুঁকি ব্যবস্থাপনা-এর ক্ষেত্রে এই মডেলের গুরুত্ব অপরিহার্য।

আরও জানতে

এখনই ট্রেডিং শুরু করুন

IQ Option-এ নিবন্ধন করুন (সর্বনিম্ন ডিপোজিট $10) Pocket Option-এ অ্যাকাউন্ট খুলুন (সর্বনিম্ন ডিপোজিট $5)

আমাদের সম্প্রদায়ে যোগ দিন

আমাদের টেলিগ্রাম চ্যানেলে যোগ দিন @strategybin এবং পান: ✓ দৈনিক ট্রেডিং সংকেত ✓ একচেটিয়া কৌশলগত বিশ্লেষণ ✓ বাজারের প্রবণতা সম্পর্কে বিজ্ঞপ্তি ✓ নতুনদের জন্য শিক্ষামূলক উপকরণ