凯利公式

凯利公式

凯利公式（Kelly Criterion），又称凯利准则，是一种用于确定在特定概率和赔率下，为了最大化长期收益，应该投入多少资本的公式。最初由克劳德·尚农（Claude Shannon）于1956年提出，用于预测马赛跑的收益，后被广泛应用于投资、博彩、金融市场等领域。它旨在找到一个平衡点，既能抓住潜在的收益机会，又能控制风险，避免过度投资导致资金耗尽。在二元期权交易中，凯利公式被视为一种重要的资金管理工具，用于优化交易规模。

概述

凯利公式的核心思想是，在多次独立且具有相同概率和赔率的试验中，最大化长期收益的投资比例。这个公式并非简单地追求每次交易的利润最大化，而是着眼于长期收益的稳定增长。它基于概率论和期望值的概念，通过计算最佳的投资比例，使投资组合在长期内实现最优的复合增长率。

凯利公式的数学表达式如下：

f* = (bp - q) / b

其中：

• f* 代表最佳的投资比例（即投入总资本的百分比）。
• b 代表收益与投入的比率（例如，在二元期权中，如果收益是投入的90%，则b=0.9）。
• p 代表成功的概率。
• q 代表失败的概率 (q = 1 - p)。

公式的推导基于几何均值最大化的原理。通过对几何均值进行优化，可以找到使长期收益最大化的投资比例。 凯利公式的假设条件包括：独立性（每次试验的结果不影响其他试验）、恒定概率（每次试验的成功概率和失败概率保持不变）以及风险中性（投资者只关注期望收益，不考虑风险厌恶）。

主要特点

• **长期优化：** 凯利公式旨在最大化长期收益，而非单次交易的利润。
• **风险控制：** 通过计算最佳投资比例，可以控制过度投资的风险。
• **概率驱动：** 投资比例的计算基于对成功概率的准确评估。
• **复合增长：** 凯利公式有助于实现投资组合的复合增长。
• **适用范围广：** 可应用于各种具有明确概率和赔率的投资和博彩场景，如外汇交易、股票交易、体育博彩等。
• **对概率估计的敏感性：** 凯利公式的结果对成功概率的估计非常敏感，因此准确评估概率至关重要。
• **分级凯利公式：** 为了降低风险，实际应用中通常使用分级凯利公式，即降低投资比例。
• **与鞅论的关系：** 凯利公式可以与鞅论联系起来，理解为在鞅下最优的赌注策略。
• **并非万能：** 凯利公式的假设条件在现实中往往不完全满足，因此需要谨慎使用。
• **需要准确的数据：** 成功应用凯利公式需要准确的概率和赔率数据。

使用方法

1. **评估成功概率 (p)：** 这是使用凯利公式的关键步骤。需要对交易或投资的成功概率进行准确评估。这可能需要进行技术分析、基本面分析、统计分析或使用其他预测方法。在二元期权交易中，可以通过历史数据、市场趋势、以及对标的资产的理解来估计成功概率。

2. **确定收益与投入的比率 (b)：** 在二元期权中，b通常是收益率减去1。例如，如果二元期权收益率为80%，则b=0.8。如果收益率是90%，则b=0.9。

3. **计算失败概率 (q)：** 失败概率等于1减去成功概率，即 q = 1 - p。

4. **应用凯利公式：** 将p、q和b的值代入凯利公式：f* = (bp - q) / b。计算结果f*即为最佳的投资比例。

5. **调整投资比例：** 由于凯利公式的投资比例可能较高，实际应用中通常会使用分级凯利公式，降低投资比例，以控制风险。常用的分级方法包括半凯利（f* / 2）和四分之三凯利（f* / 3/4）。

6. **监控和调整：** 持续监控交易结果，并根据实际情况调整成功概率的估计和投资比例。

• • 示例：**

假设一个二元期权交易的成功概率为60% (p = 0.6)，收益率为80% (b = 0.8)。

1. q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4 2. f* = (0.8 * 0.6 - 0.4) / 0.8 = (0.48 - 0.4) / 0.8 = 0.08 / 0.8 = 0.1

这意味着，根据凯利公式，应该投入总资本的10%到该二元期权交易中。如果采用半凯利策略，则投入5%的资本。

相关策略

凯利公式可以与其他资金管理策略结合使用，以进一步优化投资效果。

• **固定比例投资：** 这种策略简单易行，但不如凯利公式灵活。固定比例投资是指每次交易都投入相同比例的资本，无论胜败。
• **反马丁格尔策略：** 这种策略在盈利时增加投资比例，在亏损时减少投资比例。与凯利公式相比，反马丁格尔策略更注重风险控制，但可能牺牲部分收益。
• **鞅论策略：** 凯利公式与鞅论密切相关。在鞅论框架下，凯利公式可以被视为最优的赌注策略。
• **分级凯利公式：** 为了降低风险，通常使用分级凯利公式，例如半凯利或四分之三凯利。
• **蒙特卡洛模拟：** 可以使用蒙特卡洛模拟来评估不同凯利比例下的长期收益和风险。
• **风险价值（VaR）：** 结合风险价值分析，可以更全面地评估凯利公式的风险。
• **夏普比率：** 使用夏普比率来衡量凯利公式的风险调整收益。
• **最大回撤：** 评估使用凯利公式可能出现的最大回撤，以了解潜在的损失。
• **期望效用理论：** 将凯利公式置于期望效用理论的框架下进行分析。
• **布莱克-斯科尔斯模型：** 在二元期权定价中使用布莱克-斯科尔斯模型，可以更准确地评估成功概率。
• **期权希腊字母：** 了解期权希腊字母，例如Delta，Gamma，Vega等，可以帮助更好地评估风险。
• **套利交易：** 在某些情况下，可以使用凯利公式来优化套利交易的规模。
• **高频交易：** 在高频交易中，凯利公式可以用于快速调整投资比例。
• **对冲策略：** 结合对冲策略，可以降低凯利公式的风险。

以下是一个展示凯利公式在不同概率和收益率下的投资比例的表格：

凯利公式投资比例示例

成功概率 (p)	收益率 (b)	失败概率 (q)	最佳投资比例 (f*)
0.5	0.9	0.5	0.0
0.6	0.8	0.4	0.1
0.7	0.7	0.3	0.143
0.8	0.6	0.2	0.25
0.9	0.5	0.1	0.45

参考文献

• Shannon, C. E. (1956). The mathematical theory of communication. *Bell System Technical Journal*, *34*(3), 379–423.
• Thorp, E. O. (1967). *Beat the dealer: A winning strategy for the game of twenty-one*. Random House.
• Cover, T. M., & Thomas, J. A. (1991). *Elements of information theory*. John Wiley & Sons.

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