Биномиальная модель

```wiki

Биномиальная модель

Биномиальная модель – это численный метод, используемый для оценки цен опционов, особенно европейских опционов и американских опционов. Она является альтернативой более сложной модели Блэка-Шоулза. В отличие от модели Блэка-Шоулза, которая предполагает непрерывное изменение цены базового актива, биномиальная модель предполагает, что цена актива может измениться только на два возможных значения в течение определенного периода времени: вверх или вниз. Это делает её более интуитивно понятной и позволяет лучше учитывать специфические особенности опционов, например, возможность досрочного исполнения для американских опционов.

Основные принципы

В основе биномиальной модели лежит идея дискретизации времени. Вместо непрерывного изменения цены, время делится на небольшие интервалы, называемые шагами. В каждом шаге цена базового актива может либо увеличиться на определенный процент (обычно обозначается как *u*), либо уменьшиться на другой процент (обычно обозначается как *d*). Важно отметить, что *u* и *d* рассчитываются на основе волатильности базового актива и времени, оставшегося до истечения срока действия опциона.

Формулы для расчета u и d:*

u = exp(σ√Δt)
d = 1/u = exp(-σ√Δt)

Где:

σ – волатильность базового актива.
Δt – длина одного шага (время до истечения срока действия опциона, деленное на количество шагов).

Построение биномиального дерева

Биномиальная модель визуально представляется в виде "биномиального дерева", показывающего все возможные траектории изменения цены базового актива в течение времени.

Начальная точка дерева – текущая цена базового актива.
На каждом шаге от каждой узла отходят две ветви: одна, представляющая увеличение цены (u), и другая, представляющая уменьшение цены (d).
Таким образом, после *n* шагов дерево будет иметь *n+1* узла.

Каждая ветвь дерева представляет собой определенный сценарий развития цены актива. Пример биномиального дерева для трех шагов:

```

     S0
    /  \
   uS0  dS0
  /  \ /  \
 u²S0 udS0 d²S0
/  \ /  \ /  \

u³S0 u²dS0 ud²S0 d³S0 ```

Где:

S0 – текущая цена базового актива.
u – коэффициент роста цены.
d – коэффициент снижения цены.

Оценка опциона

Оценка опциона в биномиальной модели начинается с определения стоимости опциона на момент истечения срока действия (в конечных узлах дерева). Затем, двигаясь назад по дереву, рассчитывается стоимость опциона в каждом узле, используя принцип отсутствия арбитража.

В конечных узлах (в момент истечения срока действия опциона) стоимость опциона равна его внутренней стоимости:

   *   Для Call-опциона: max(S – K, 0), где S – цена базового актива в конечном узле, K – цена исполнения опциона.
   *   Для Put-опциона: max(K – S, 0).

Для каждого узла, предшествующего конечному, стоимость опциона рассчитывается как дисконтированное ожидаемое значение будущих стоимостей опциона в двух дочерних узлах. Дисконтирование производится с использованием безрисковой процентной ставки (r).

Формула для расчета стоимости опциона в каждом узле:

``` C = e^(-rΔt) [pC_u + (1-p)C_d] ```

Где:

C – стоимость опциона в текущем узле.
r – безрисковая процентная ставка.
Δt – длина одного шага.
p – вероятность роста цены (обычно рассчитывается как (e^(rΔt) - d) / (u - d)).
C_u – стоимость опциона в узле, где цена выросла.
C_d – стоимость опциона в узле, где цена упала.

Для американских опционов, в каждом узле необходимо сравнивать стоимость опциона, рассчитанную по формуле выше, со стоимостью немедленного исполнения опциона. Если немедленное исполнение опциона более выгодно, то стоимость опциона в этом узле равна его внутренней стоимости. Это позволяет учитывать возможность досрочного исполнения американских опционов.

Преимущества и недостатки

Преимущества:*

*Интуитивность:* Биномиальная модель легко понять и реализовать.
*Гибкость:* Модель позволяет учитывать сложные характеристики опционов, такие как возможность досрочного исполнения для американских опционов.
*Точность:* При достаточном количестве шагов биномиальная модель может обеспечить высокую точность оценки опционов.

Недостатки:*

*Вычислительная сложность:* С увеличением количества шагов возрастает вычислительная сложность модели.
*Дискретизация времени:* Дискретизация времени может привести к некоторой погрешности в оценке опционов.

Применение в бинарных опционах

Хотя биномиальная модель изначально разрабатывалась для оценки европейских и американских опционов, её принципы могут быть адаптированы для анализа и понимания бинарных опционов. В частности, она помогает визуализировать возможные сценарии изменения цены базового актива и оценивать вероятность достижения определенного уровня цены к моменту истечения срока действия опциона.

В бинарных опционах, где выплата фиксирована, биномиальная модель может использоваться для расчета вероятности выигрыша. Определив вероятность того, что цена актива достигнет или превысит заданный уровень (для Call-опциона) или упадет ниже заданного уровня (для Put-опциона), можно оценить ожидаемую доходность и принять обоснованное инвестиционное решение.

Практический пример

Предположим, мы хотим оценить стоимость Call-опциона с ценой исполнения 100 долларов, сроком действия 3 месяца, волатильностью 20% и безрисковой процентной ставкой 5%. Используем биномиальную модель с тремя шагами.

1. *Расчет параметров:*

   *   σ = 0.20
   *   r = 0.05
   *   T = 0.25 (3 месяца)
   *   Δt = T/n = 0.25/3 = 0.0833
   *   u = exp(0.20 * √0.0833) = 1.0372
   *   d = 1/u = 0.9640
   *   p = (exp(0.05 * 0.0833) - 0.9640) / (1.0372 - 0.9640) = 0.5237

2. *Построение биномиального дерева:* (Уже показано выше)

3. *Оценка стоимости опциона в конечных узлах:*

   *   u³S0: max(u³S0 - K, 0)
   *   u²dS0: max(u²dS0 - K, 0)
   *   ud²S0: max(ud²S0 - K, 0)
   *   d³S0: max(d³S0 - K, 0)

4. *Расчет стоимости опциона, двигаясь назад по дереву:* Используя формулу, указанную выше, рассчитываем стоимость опциона в каждом узле, дисконтируя ожидаемые значения будущих стоимостей.

Связанные темы

Биномиальная модель является мощным инструментом для понимания и оценки опционов. Однако важно помнить, что это лишь модель, и её результаты зависят от точности используемых входных данных и сделанных предположений. Понимание ограничений модели и использование её в сочетании с другими методами анализа поможет принимать более обоснованные инвестиционные решения. ```

Платформа	Особенности	Регистрация
Binomo	Высокая доходность, демо-счет	Присоединиться
Pocket Option	Социальный трейдинг, бонусы	Открыть счет

Биномиальная модель

Contents