DFT
- घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत (DFT)
घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत (DFT) एक क्वांटम मैकेनिकल मॉडलिंग विधि है जिसका उपयोग परमाणुओं, अणुओं और ठोस पदार्थों की इलेक्ट्रॉनिक संरचना का वर्णन करने के लिए किया जाता है। यह क्वांटम रसायन विज्ञान और ठोस अवस्था भौतिकी में एक शक्तिशाली उपकरण है, जो जटिल प्रणालियों के गुणों की गणना करने का एक अपेक्षाकृत कुशल तरीका प्रदान करता है। पारंपरिक क्वांटम रासायनिक विधियों की तुलना में, जो कई-शरीर तरंग कार्यों के साथ काम करती हैं, DFT इलेक्ट्रॉनिक घनत्व को मौलिक चर के रूप में उपयोग करता है।
DFT का इतिहास
DFT की जड़ें 1964 में पी. हॉहेनबर्ग और डब्ल्यू. कोहन द्वारा प्रकाशित दो महत्वपूर्ण प्रमेयों में निहित हैं। हॉहेनबर्ग-कोहन प्रमेय यह स्थापित करते हैं कि किसी प्रणाली की जमीनी अवस्था ऊर्जा केवल इलेक्ट्रॉनिक घनत्व का एक कार्यात्मक है। इसका मतलब है कि तरंग फ़ंक्शन के जटिल कई-शरीर विवरण को जानने के बजाय, हम केवल इलेक्ट्रॉनिक घनत्व को जानकर प्रणाली के सभी गुणों को निर्धारित कर सकते हैं।
- **पहला हॉहेनबर्ग-कोहन प्रमेय:** एक बाहरी क्षमता V(r) के लिए, जमीनी अवस्था घनत्व ρ(r) अद्वितीय रूप से निर्धारित होता है।
- **दूसरा हॉहेनबर्ग-कोहन प्रमेय:** जमीनी अवस्था ऊर्जा एक अद्वितीय कार्यात्मक E[ρ] द्वारा दी गई है जो घनत्व ρ(r) का एक कार्यात्मक है।
हालांकि, इन प्रमेयों ने कार्यात्मक E[ρ] के सटीक रूप को निर्दिष्ट नहीं किया। दशकों तक, सटीक कार्यात्मक की खोज एक चुनौती बनी रही। Kohn-Sham समीकरणों का विकास, 1965 में वॉल्टर कोहन और लुजियोन शेमर द्वारा प्रस्तुत, DFT को व्यावहारिक रूप से उपयोगी बनाने में महत्वपूर्ण था।
Kohn-Sham समीकरण
Kohn-Sham (KS) समीकरण DFT का आधार हैं। वे एक गैर-अंतःक्रियात्मक प्रणाली को परिभाषित करते हैं जिसमें वही जमीनी अवस्था घनत्व होता है जो वास्तविक अंतःक्रियात्मक प्रणाली के रूप में होता है। KS समीकरण इस प्रकार हैं:
[-ħ²/2m ∇² + Vext(r) + VH(r) + Vxc(r)] ψi(r) = εi ψi(r)
जहां:
- ħ प्लांक स्थिरांक है।
- m इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है।
- ∇² लाप्लासियन ऑपरेटर है।
- Vext(r) बाहरी क्षमता है (जैसे, नाभिक का आकर्षण)।
- VH(r) हार्ट्री क्षमता है, जो इलेक्ट्रॉनों के बीच प्रतिकर्षण का वर्णन करती है।
- Vxc(r) विनिमय-सहसंबंध क्षमता है, जो कई-शरीर प्रभावों का लेखा-जोखा करती है।
- ψi(r) Kohn-Sham कक्षीय हैं।
- εi Kohn-Sham कक्षीय ऊर्जाएँ हैं।
घनत्व ρ(r) Kohn-Sham कक्षीयों द्वारा दिया गया है:
ρ(r) = Σi |ψi(r)|²
Kohn-Sham समीकरणों को हल करके, हम Kohn-Sham कक्षीयों और जमीनी अवस्था घनत्व को प्राप्त कर सकते हैं। फिर हम जमीनी अवस्था ऊर्जा और अन्य गुणों की गणना कर सकते हैं।
विनिमय-सहसंबंध कार्यात्मक
DFT की सफलता विनिमय-सहसंबंध कार्यात्मक Vxc(r) की पसंद पर निर्भर करती है। यह कार्यात्मक कई-शरीर प्रभावों का लेखा-जोखा करता है जो हार्ट्री क्षमता द्वारा कैप्चर नहीं किए जाते हैं, जैसे कि इलेक्ट्रॉन सहसंबंध और विनिमय ऊर्जा। कई अलग-अलग विनिमय-सहसंबंध कार्यात्मक विकसित किए गए हैं, प्रत्येक अपनी शक्तियों और कमजोरियों के साथ।
- **स्थानीय घनत्व सन्निकटन (LDA):** यह सबसे सरल कार्यात्मक है, जो घनत्व को एक समान इलेक्ट्रॉन गैस मानकर विनिमय-सहसंबंध ऊर्जा का अनुमान लगाता है। यह गणनात्मक रूप से कुशल है लेकिन अक्सर सटीकता में सीमित होता है।
- **सामान्यीकृत ग्रेडिएंट सन्निकटन (GGA):** GGA कार्यात्मक घनत्व के ग्रेडिएंट को शामिल करते हैं, जो इलेक्ट्रॉन घनत्व में परिवर्तन को ध्यान में रखते हैं। वे LDA की तुलना में अधिक सटीक हैं, लेकिन अधिक गणनात्मक रूप से महंगे भी हैं। PBE और BLYP सामान्य GGA कार्यात्मक के उदाहरण हैं।
- **मेटा-GGA कार्यात्मक:** ये कार्यात्मक घनत्व के दूसरे व्युत्पन्न या गतिज ऊर्जा घनत्व को शामिल करते हैं, जो अधिक सटीकता प्रदान करते हैं लेकिन अधिक जटिल भी होते हैं।
- **हाइब्रिड कार्यात्मक:** हाइब्रिड कार्यात्मक हार्ट्री-फॉक विनिमय के साथ DFT विनिमय-सहसंबंध को मिलाते हैं। वे आमतौर पर GGA कार्यात्मक से अधिक सटीक होते हैं, लेकिन अधिक गणनात्मक रूप से महंगे भी होते हैं। B3LYP एक लोकप्रिय हाइब्रिड कार्यात्मक है।
- **रेंज-सेपरेटेड कार्यात्मक:** ये कार्यात्मक विनिमय-सहसंबंध को छोटे और बड़े अंतःक्रियात्मक रेंज में विभाजित करते हैं, प्रत्येक रेंज के लिए अलग-अलग कार्यात्मक का उपयोग करते हैं।
DFT के अनुप्रयोग
DFT का उपयोग विभिन्न प्रकार के अनुप्रयोगों में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:
- **अणु संरचना की गणना:** DFT अणुओं की ज्यामिति, कंपन आवृत्तियों और ऊर्जाओं की सटीक भविष्यवाणी कर सकता है। यह स्पेक्ट्रोस्कोपी और रासायनिक प्रतिक्रिया के अध्ययन में उपयोगी है।
- **ठोस पदार्थों के गुणों की गणना:** DFT का उपयोग ठोस पदार्थों की इलेक्ट्रॉनिक संरचना, चुंबकीय गुणों और ऑप्टिकल गुणों की गणना के लिए किया जा सकता है। यह सामग्री विज्ञान और ठोस अवस्था भौतिकी में महत्वपूर्ण है।
- **सतह रसायन विज्ञान:** DFT सतह प्रतिक्रियाओं और उत्प्रेरक की समझ के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है।
- **जीव रसायन:** DFT का उपयोग एंजाइमों, प्रोटीन और डीएनए जैसे जैविक अणुओं की संरचना और गुणों का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है।
- **नैनोप्रौद्योगिकी:** DFT का उपयोग नैनोमैटेरियल्स के गुणों को डिजाइन और अनुकूलित करने के लिए किया जा सकता है।
DFT की सीमाएँ
DFT एक शक्तिशाली उपकरण है, लेकिन इसकी कुछ सीमाएँ भी हैं:
- **विनिमय-सहसंबंध कार्यात्मक का सन्निकटन:** विनिमय-सहसंबंध कार्यात्मक का सटीक रूप अभी भी एक चुनौती है। कार्यात्मक की पसंद परिणाम की सटीकता को प्रभावित कर सकती है।
- **स्व-अंतःक्रिया त्रुटि:** कुछ कार्यात्मक स्व-अंतःक्रिया त्रुटि से पीड़ित होते हैं, जहां एक इलेक्ट्रॉन अपने ही क्षेत्र के साथ गलत तरीके से बातचीत करता है।
- **स्थिर रूप से सहसंबंधित प्रणालियाँ:** DFT स्थिर रूप से सहसंबंधित प्रणालियों का सटीक वर्णन करने के लिए संघर्ष कर सकता है, जहाँ इलेक्ट्रॉन सहसंबंध महत्वपूर्ण है।
- **उत्तेजित अवस्थाएँ:** DFT मुख्य रूप से जमीनी अवस्था गुणों की गणना के लिए डिज़ाइन किया गया है। उत्तेजित अवस्थाओं की गणना अधिक चुनौतीपूर्ण है।
DFT और बाइनरी विकल्प
DFT का सीधा संबंध बाइनरी विकल्पों से नहीं है। बाइनरी विकल्प वित्तीय बाजार में एक प्रकार का विकल्प है जो एक निश्चित समय अवधि के भीतर एक संपत्ति की कीमत एक निश्चित स्तर से ऊपर या नीचे जाएगी या नहीं, इस पर आधारित होता है। यह तकनीकी विश्लेषण, वॉल्यूम विश्लेषण, और जोखिम प्रबंधन जैसी वित्तीय रणनीतियों पर निर्भर करता है।
हालांकि, DFT के उपयोग से सामग्रियों के गुणों की भविष्यवाणी करने की क्षमता का उपयोग उन उद्योगों में किया जा सकता है जो बाइनरी विकल्पों से संबंधित संपत्तियों का उत्पादन करते हैं, जैसे कि कमोडिटीज (सोना, तेल, आदि)। उदाहरण के लिए, DFT का उपयोग नई सामग्रियों को डिजाइन करने के लिए किया जा सकता है जो ऊर्जा भंडारण में अधिक कुशल हैं, जिससे संबंधित बाइनरी विकल्पों के मूल्य को प्रभावित किया जा सकता है।
निष्कर्ष
घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत (DFT) एक शक्तिशाली क्वांटम मैकेनिकल मॉडलिंग विधि है जिसका उपयोग परमाणुओं, अणुओं और ठोस पदार्थों की इलेक्ट्रॉनिक संरचना का वर्णन करने के लिए किया जाता है। यह विभिन्न प्रकार के अनुप्रयोगों में उपयोगी है, लेकिन इसकी कुछ सीमाएँ भी हैं। DFT अभी भी अनुसंधान का एक सक्रिय क्षेत्र है, और नए और अधिक सटीक कार्यात्मक विकसित किए जा रहे हैं।
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| कार्यात्मक | सटीकता | कम्प्यूटेशनल लागत |
|---|---|---|
| LDA | निम्न | निम्न |
| GGA | मध्यम | मध्यम |
| मेटा-GGA | उच्च | मध्यम |
| हाइब्रिड | बहुत उच्च | उच्च |
| रेंज-सेपरेटेड | बहुत उच्च | बहुत उच्च |
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