गॉसियन उन्मूलन

गॉसियन उन्मूलन

गॉसियन उन्मूलन (Gaussian Elimination) एक शक्तिशाली और व्यापक रूप से इस्तेमाल किया जाने वाला रेखीय बीजगणित में एल्गोरिदम है। इसका उपयोग रेखीय समीकरणों की प्रणाली को हल करने, मैट्रिक्स का रैंक ज्ञात करने, डिटरमिनेंट की गणना करने और मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ज्ञात करने के लिए किया जाता है। यह एल्गोरिदम विशेष रूप से कंप्यूटर विज्ञान, इंजीनियरिंग, अर्थशास्त्र और कई अन्य क्षेत्रों में महत्वपूर्ण है। यह लेख गॉसियन उन्मूलन की मूल अवधारणाओं, चरणों, उदाहरणों और अनुप्रयोगों पर केंद्रित होगा, ताकि शुरुआती लोगों के लिए इसे समझना आसान हो सके।

परिचय

गॉसियन उन्मूलन का नाम जर्मन गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1800 के दशक की शुरुआत में इस विधि का विकास किया था। यह विधि मैट्रिक्स को पंक्ति संचालन के एक क्रम के माध्यम से पंक्ति सोपानक रूप (Row Echelon Form) या घटा हुआ पंक्ति सोपानक रूप (Reduced Row Echelon Form) में परिवर्तित करने पर आधारित है। पंक्ति सोपानक रूप में, प्रत्येक पंक्ति में पहले गैर-शून्य तत्व (जिसे प्रमुख तत्व कहा जाता है) अगली पंक्ति में पहले गैर-शून्य तत्व से दाईं ओर होता है। घटा हुआ पंक्ति सोपानक रूप में, प्रमुख तत्व 1 होता है, और प्रमुख तत्व के ऊपर और नीचे सभी तत्व 0 होते हैं।

गॉसियन उन्मूलन के चरण

गॉसियन उन्मूलन में शामिल मुख्य चरण निम्नलिखित हैं:

1. **समीकरणों की प्रणाली को मैट्रिक्स में बदलना:** सबसे पहले, रेखीय समीकरणों की दी गई प्रणाली को एक विस्तारित मैट्रिक्स (Augmented Matrix) में परिवर्तित किया जाता है। विस्तारित मैट्रिक्स में समीकरणों के गुणांक और स्थिर पद शामिल होते हैं। 2. **पंक्ति संचालन:** फिर, मैट्रिक्स पर पंक्ति संचालन लागू किए जाते हैं ताकि इसे पंक्ति सोपानक रूप या घटा हुआ पंक्ति सोपानक रूप में परिवर्तित किया जा सके। तीन मुख्य प्रकार के पंक्ति संचालन हैं:

   *   **पंक्तियों का आदान-प्रदान:** किसी भी दो पंक्तियों को आपस में बदला जा सकता है।
   *   **पंक्ति को अदिश से गुणा:** किसी पंक्ति के प्रत्येक तत्व को एक गैर-शून्य अदिश से गुणा किया जा सकता है।
   *   **एक पंक्ति में दूसरी पंक्ति का योग:** एक पंक्ति में दूसरी पंक्ति के किसी गुणक को जोड़ा जा सकता है।

3. **बैक प्रतिस्थापन:** यदि मैट्रिक्स को घटा हुआ पंक्ति सोपानक रूप में परिवर्तित किया गया है, तो समाधान को सीधे मैट्रिक्स से पढ़ा जा सकता है। यदि मैट्रिक्स को केवल पंक्ति सोपानक रूप में परिवर्तित किया गया है, तो समाधान प्राप्त करने के लिए बैक प्रतिस्थापन (Back Substitution) का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण

मान लीजिए कि हमारे पास निम्नलिखित रेखीय समीकरणों की प्रणाली है:

x + y + z = 6 2x - y + z = 3 x + 2y - z = 2

इसे विस्तारित मैट्रिक्स में परिवर्तित करने पर हमें मिलता है:

विस्तारित मैट्रिक्स
x	y	z	स्थिर पद
1	1	1	6
2	-1	1	3
1	2	-1	2

अब, हम पंक्ति संचालन का उपयोग करके मैट्रिक्स को पंक्ति सोपानक रूप में परिवर्तित करते हैं:

1. पंक्ति 2 से पंक्ति 1 का दोगुना घटाएं:

   R2 = R2 - 2R1

2. पंक्ति 3 से पंक्ति 1 घटाएं:

   R3 = R3 - R1

परिणामस्वरूप मैट्रिक्स है:

पंक्ति सोपानक रूप में मैट्रिक्स
x	y	z	स्थिर पद
1	1	1	6
0	-3	-1	-9
0	1	-2	-4

अब, पंक्ति 2 और पंक्ति 3 का आदान-प्रदान करें: R2 <-> R3

पंक्ति सोपानक रूप में मैट्रिक्स (आदान-प्रदान के बाद)
x	y	z	स्थिर पद
1	1	1	6
0	1	-2	-4
0	-3	-1	-9

अब, पंक्ति 3 में पंक्ति 2 का तीन गुना जोड़ें: R3 = R3 + 3R2

पंक्ति सोपानक रूप में मैट्रिक्स (अंतिम रूप)
x	y	z	स्थिर पद
1	1	1	6
0	1	-2	-4
0	0	-7	-21

अब, हम बैक प्रतिस्थापन का उपयोग करके समाधान ज्ञात करते हैं:

z = -21 / -7 = 3
y - 2z = -4 => y - 2(3) = -4 => y = 2
x + y + z = 6 => x + 2 + 3 = 6 => x = 1

इसलिए, समाधान है x = 1, y = 2, और z = 3।

अनुप्रयोग

गॉसियन उन्मूलन के कई महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं:

**रेखीय समीकरणों की प्रणाली को हल करना:** यह इसका सबसे आम अनुप्रयोग है। रेखीय समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए इसका उपयोग कई क्षेत्रों में किया जाता है, जैसे कि इंजीनियरिंग, भौतिकी और अर्थशास्त्र।
**मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ज्ञात करना:** गॉसियन उन्मूलन का उपयोग मैट्रिक्स का व्युत्क्रम (Inverse Matrix) ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है। यह रेखीय बीजगणित में एक महत्वपूर्ण ऑपरेशन है।
**डिटरमिनेंट की गणना करना:** गॉसियन उन्मूलन का उपयोग डिटरमिनेंट (Determinant) की गणना करने के लिए किया जा सकता है।
**रैंक ज्ञात करना:** गॉसियन उन्मूलन का उपयोग मैट्रिक्स का रैंक (Rank) ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।
**ऑप्टिमाइजेशन समस्याएँ:** गॉसियन उन्मूलन का उपयोग कुछ ऑप्टिमाइजेशन समस्याएँ (Optimization Problems) को हल करने के लिए किया जा सकता है।

गॉसियन उन्मूलन के प्रकार

गॉसियन उन्मूलन के कई प्रकार हैं, जिनमें शामिल हैं:

**सादा गॉसियन उन्मूलन:** यह गॉसियन उन्मूलन का सबसे सरल रूप है।
**आंशिक पाइवटिंग (Partial Pivoting):** इस विधि में, प्रत्येक चरण में, सबसे बड़ी पूर्ण मान वाली पंक्ति को वर्तमान पंक्ति के साथ बदला जाता है। यह संख्यात्मक स्थिरता में सुधार करता है।
**पूर्ण पाइवटिंग (Complete Pivoting):** इस विधि में, प्रत्येक चरण में, सबसे बड़ी पूर्ण मान वाली तत्व को वर्तमान पंक्ति और कॉलम के साथ बदला जाता है। यह संख्यात्मक स्थिरता में और सुधार करता है, लेकिन यह अधिक जटिल है।
**LU अपघटन (LU Decomposition):** यह विधि मैट्रिक्स को दो त्रिकोणीय मैट्रिक्स (एक ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स और एक निचला त्रिकोणीय मैट्रिक्स) के गुणनफल के रूप में व्यक्त करती है। यह कई रेखीय बीजगणित गणनाओं को सरल बनाता है।

संख्यात्मक स्थिरता

गॉसियन उन्मूलन संख्यात्मक त्रुटियों के प्रति संवेदनशील हो सकता है, खासकर जब मैट्रिक्स बुरी तरह से कंडीशन किया गया हो। संख्यात्मक स्थिरता में सुधार के लिए आंशिक या पूर्ण पाइवटिंग का उपयोग किया जा सकता है।

कंप्यूटर कार्यान्वयन

गॉसियन उन्मूलन को विभिन्न प्रोग्रामिंग भाषाओं में आसानी से कार्यान्वित किया जा सकता है, जैसे कि पायथन, जावा, सी++, और MATLAB। कई संख्यात्मक कंप्यूटिंग

अभी ट्रेडिंग शुरू करें

IQ Option पर रजिस्टर करें (न्यूनतम जमा $10) Pocket Option में खाता खोलें (न्यूनतम जमा $5)

हमारे समुदाय में शामिल हों

हमारे Telegram चैनल @strategybin से जुड़ें और प्राप्त करें: ✓ दैनिक ट्रेडिंग सिग्नल ✓ विशेष रणनीति विश्लेषण ✓ बाजार की प्रवृत्ति पर अलर्ट ✓ शुरुआती के लिए शिक्षण सामग्री