مدل‌های ARMA و ARIMA

مدل‌های ARMA و ARIMA

مقدمه

آمار زمان یکی از شاخه‌های مهم آمار است که به تحلیل داده‌هایی می‌پردازد که در طول زمان جمع‌آوری شده‌اند. پیش‌بینی روند آتی این داده‌ها کاربرد فراوانی در زمینه‌های مختلف از جمله اقتصاد، مهندسی، و علوم اجتماعی دارد. مدل‌های ARMA و ARIMA دو ابزار قدرتمند در آمار زمان هستند که برای مدل‌سازی و پیش‌بینی سری‌های زمانی به کار می‌روند. این مدل‌ها بر اساس این ایده بنا شده‌اند که مقدار فعلی یک متغیر زمانی، به مقادیر گذشته‌ی آن و همچنین به خطاهای تصادفی در گذشته وابسته است.

در این مقاله، به بررسی دقیق مدل‌های ARMA و ARIMA، اجزای سازنده آن‌ها، نحوه شناسایی پارامترها و کاربردهای آن‌ها خواهیم پرداخت. هدف این مقاله، ارائه یک درک جامع از این مدل‌ها برای افراد مبتدی است.

سری‌های زمانی

قبل از پرداختن به مدل‌های ARMA و ARIMA، لازم است با مفهوم سری زمانی آشنا شویم. یک سری زمانی، مجموعه‌ای از نقاط داده است که در طول زمان با فواصل زمانی مشخص جمع‌آوری شده‌اند. به عنوان مثال، قیمت روزانه سهام یک شرکت، دمای هوا در یک شهر در طول یک سال، یا میزان فروش یک محصول در طول یک ماه، همگی نمونه‌هایی از سری‌های زمانی هستند.

ویژگی‌های مهم یک سری زمانی عبارتند از:

• روند: جهت کلی تغییرات در طول زمان (صعودی، نزولی، یا ثابت).
• فصلی بودن: الگوهای تکراری که در فواصل زمانی مشخص رخ می‌دهند (مانند افزایش فروش در تعطیلات).
• نوسان: میزان تغییرات داده‌ها در حول میانگین.
• تصادفی بودن: وجود الگوهای غیرقابل پیش‌بینی در داده‌ها.

مدل‌های AR

مدل‌های خودرگرسیونی (AR) فرض می‌کنند که مقدار فعلی یک متغیر زمانی، به مقادیر گذشته‌ی آن وابسته است. به عبارت دیگر، مقدار فعلی متغیر، تابعی از مقادیر قبلی خود است. یک مدل AR(p) به صورت زیر تعریف می‌شود:

X_t = c + φ₁X_t-1 + φ₂X_t-2 + ... + φ_pX_t-p + ε_t

در این معادله:

• X_t: مقدار متغیر در زمان t
• c: یک ثابت
• φ_i: پارامترهای خودرگرسیونی
• X_t-i: مقدار متغیر در زمان t-i
• ε_t: خطای تصادفی (نویز سفید)

عدد p نشان‌دهنده مرتبه مدل AR است. به عنوان مثال، یک مدل AR(1) فقط به مقدار قبلی متغیر وابسته است، در حالی که یک مدل AR(2) به دو مقدار قبلی متغیر وابسته است.

مدل‌های MA

مدل‌های میانگین متحرک (MA) فرض می‌کنند که مقدار فعلی یک متغیر زمانی، به خطاهای تصادفی در گذشته وابسته است. به عبارت دیگر، مقدار فعلی متغیر، تابعی از خطاهای قبلی است. یک مدل MA(q) به صورت زیر تعریف می‌شود:

X_t = μ + θ₁ε_t-1 + θ₂ε_t-2 + ... + θ_qε_t-q + ε_t

در این معادله:

• X_t: مقدار متغیر در زمان t
• μ: میانگین سری زمانی
• θ_i: پارامترهای میانگین متحرک
• ε_t-i: خطای تصادفی در زمان t-i
• ε_t: خطای تصادفی فعلی (نویز سفید)

عدد q نشان‌دهنده مرتبه مدل MA است. به عنوان مثال، یک مدل MA(1) فقط به خطای قبلی وابسته است، در حالی که یک مدل MA(2) به دو خطای قبلی وابسته است.

مدل‌های ARMA

مدل‌های ARMA (ARMA) ترکیبی از مدل‌های AR و MA هستند. این مدل‌ها فرض می‌کنند که مقدار فعلی یک متغیر زمانی، هم به مقادیر گذشته‌ی آن و هم به خطاهای تصادفی در گذشته وابسته است. یک مدل ARMA(p, q) به صورت زیر تعریف می‌شود:

X_t = c + φ₁X_t-1 + φ₂X_t-2 + ... + φ_pX_t-p + θ₁ε_t-1 + θ₂ε_t-2 + ... + θ_qε_t-q + ε_t

در این معادله:

• X_t: مقدار متغیر در زمان t
• c: یک ثابت
• φ_i: پارامترهای خودرگرسیونی
• θ_i: پارامترهای میانگین متحرک
• X_t-i: مقدار متغیر در زمان t-i
• ε_t-i: خطای تصادفی در زمان t-i
• ε_t: خطای تصادفی فعلی (نویز سفید)

پارامترهای p و q به ترتیب مرتبه مدل AR و MA را نشان می‌دهند.

مدل‌های ARIMA

مدل‌های ARIMA (ARIMA) توسعه‌یافته مدل‌های ARMA هستند که برای مدل‌سازی سری‌های زمانی غیرایستا به کار می‌روند. یک سری زمانی ایستا، سری زمانی است که میانگین و واریانس آن در طول زمان ثابت باشند. اگر یک سری زمانی غیرایستا باشد، قبل از اعمال مدل ARMA، باید آن را به یک سری زمانی ایستا تبدیل کرد. این کار معمولاً با استفاده از روش‌های تفاضل‌گیری انجام می‌شود.

یک مدل ARIMA(p, d, q) به صورت زیر تعریف می‌شود:

∇^dX_t = c + φ₁∇^dX_t-1 + φ₂∇^dX_t-2 + ... + φ_p∇^dX_t-p + θ₁ε_t-1 + θ₂ε_t-2 + ... + θ_qε_t-q + ε_t

در این معادله:

• ∇^dX_t: سری زمانی تفاضل‌گیری شده d بار
• c: یک ثابت
• φ_i: پارامترهای خودرگرسیونی
• θ_i: پارامترهای میانگین متحرک
• X_t-i: مقدار متغیر در زمان t-i
• ε_t-i: خطای تصادفی در زمان t-i
• ε_t: خطای تصادفی فعلی (نویز سفید)

پارامتر d نشان‌دهنده مرتبه تفاضل‌گیری است.

شناسایی پارامترهای مدل

شناسایی پارامترهای مناسب برای مدل‌های ARMA و ARIMA یک گام مهم در فرایند مدل‌سازی است. روش‌های مختلفی برای شناسایی این پارامترها وجود دارد، از جمله:

• تابع خودهمبستگی (ACF): این تابع همبستگی بین یک سری زمانی و نسخه‌های تاخیری خود را نشان می‌دهد.
• تابع خودهمبستگی جزئی (PACF): این تابع همبستگی بین یک سری زمانی و نسخه‌های تاخیری خود را پس از حذف اثر تاخیرهای میانی نشان می‌دهد.
• نمودارهای سری زمانی: بررسی بصری نمودار سری زمانی می‌تواند به شناسایی روند، فصلی بودن، و نوسانات کمک کند.
• آزمون‌های آماری: آزمون‌های آماری مانند آزمون دیکی-فولر می‌توانند برای تعیین ایستایی سری زمانی استفاده شوند.

تخمین پارامترها

پس از شناسایی پارامترهای مدل، باید آن‌ها را تخمین زد. روش‌های مختلفی برای تخمین پارامترها وجود دارد، از جمله:

• روش کمترین مربعات: این روش پارامترهایی را پیدا می‌کند که مجموع مربعات خطاها را کمینه می‌کنند.
• برآورد درست‌نمایی بیشینه: این روش پارامترهایی را پیدا می‌کند که احتمال مشاهده داده‌ها را بیشینه می‌کنند.

ارزیابی مدل

پس از تخمین پارامترها، باید مدل را ارزیابی کرد تا اطمینان حاصل شود که به خوبی با داده‌ها مطابقت دارد. روش‌های مختلفی برای ارزیابی مدل وجود دارد، از جمله:

• میانگین مربعات خطا (MSE): این معیار میانگین مربعات خطاها را نشان می‌دهد.
• ریشه میانگین مربعات خطا (RMSE): این معیار ریشه میانگین مربعات خطاها را نشان می‌دهد.
• R-squared: این معیار نشان می‌دهد که چه نسبتی از واریانس داده‌ها توسط مدل توضیح داده می‌شود.
• تحلیل باقیمانده‌ها: بررسی باقیمانده‌ها (تفاوت بین مقادیر واقعی و مقادیر پیش‌بینی شده) می‌تواند به شناسایی مشکلات مدل کمک کند.

کاربردهای مدل‌های ARMA و ARIMA

مدل‌های ARMA و ARIMA در زمینه‌های مختلفی کاربرد دارند، از جمله:

• پیش‌بینی اقتصادی: پیش‌بینی نرخ تورم، نرخ بیکاری، و رشد اقتصادی.
• پیش‌بینی مالی: پیش‌بینی قیمت سهام، نرخ ارز، و نرخ بهره.
• پیش‌بینی آب و هوا: پیش‌بینی دما، بارندگی، و سرعت باد.
• کنترل کیفیت: شناسایی و رفع مشکلات در فرآیندهای تولید.
• تحلیل ترافیک: پیش‌بینی حجم ترافیک و زمان سفر.

استراتژی‌های مرتبط

• تحلیل موجک: برای تحلیل داده‌های غیرایستا و شناسایی الگوهای پنهان.
• شبکه‌های عصبی بازگشتی: برای مدل‌سازی سری‌های زمانی پیچیده و غیرخطی.
• فیلتر کالمن: برای تخمین حالت یک سیستم پویا از طریق داده‌های نویزی.
• مدل‌های GARCH: برای مدل‌سازی واریانس متغیر در طول زمان.
• روش‌های هموارسازی نمایی: برای پیش‌بینی سری‌های زمانی با استفاده از میانگین‌های متحرک وزن‌دار.

تحلیل تکنیکال و تحلیل حجم معاملات

• میانگین متحرک: شناسایی روندها و سطوح حمایت و مقاومت.
• شاخص قدرت نسبی: ارزیابی قدرت یک روند.
• MACD: شناسایی تغییرات در روند و سیگنال‌های خرید و فروش.
• باند بولینگر: ارزیابی نوسانات و شناسایی نقاط احتمالی برگشت قیمت.
• حجم معاملات: تایید روندها و شناسایی نقاط ورود و خروج.
• اندیکاتورهای جریان نقدی: بررسی ورود و خروج پول از بازار.
• الگوهای نموداری: شناسایی الگوهای تکرارشونده در نمودار قیمت.
• تحلیل فیبوناچی: شناسایی سطوح حمایت و مقاومت بر اساس نسبت‌های فیبوناچی.
• تحلیل کندل استیک: شناسایی الگوهای کندلی که نشان‌دهنده تغییرات در احساسات بازار هستند.

جمع‌بندی

مدل‌های ARMA و ARIMA ابزارهای قدرتمندی برای مدل‌سازی و پیش‌بینی سری‌های زمانی هستند. این مدل‌ها بر اساس این ایده بنا شده‌اند که مقدار فعلی یک متغیر زمانی، به مقادیر گذشته‌ی آن و همچنین به خطاهای تصادفی در گذشته وابسته است. شناسایی پارامترهای مناسب، تخمین پارامترها، و ارزیابی مدل، گام‌های مهمی در فرایند مدل‌سازی هستند. این مدل‌ها در زمینه‌های مختلفی کاربرد دارند و می‌توانند برای پیش‌بینی روند آتی داده‌ها و تصمیم‌گیری‌های آگاهانه مورد استفاده قرار گیرند. (Category:Time_series_models) آمار رگرسیون احتمالات نویز سفید ایستایی تفاضل‌گیری پیش‌بینی سری زمانی تابع خودهمبستگی تابع خودهمبستگی جزئی میانگین مربعات خطا ریشه میانگین مربعات خطا R-squared روش کمترین مربعات برآورد درست‌نمایی بیشینه تحلیل باقیمانده‌ها تحلیل موجک شبکه‌های عصبی بازگشتی فیلتر کالمن مدل‌های GARCH روش‌های هموارسازی نمایی میانگین متحرک شاخص قدرت نسبی MACD باند بولینگر حجم معاملات اندیکاتورهای جریان نقدی الگوهای نموداری تحلیل فیبوناچی تحلیل کندل استیک مدل‌سازی ریاضی داده‌کاوی یادگیری ماشین تحلیل سری زمانی اقتصادسنجی پیش‌بینی مالی مدیریت ریسک تجزیه و تحلیل داده‌ها تصمیم‌گیری مبتنی بر داده سیستم‌های خبره هوش تجاری تحلیل پیش‌بینانه تکنیک‌های پیش‌بینی تحلیل داده‌های بزرگ پردازش سیگنال مهندسی سیستم‌ها کنترل فرآیند کیفیت نرم‌افزار تحلیل ریسک مدیریت زنجیره تامین تحلیل بازار بازاریابی مدیریت مالی تحلیل سرمایه‌گذاری تجارت الگوریتمی پیش‌بینی فروش برنامه‌ریزی تولید مدیریت موجودی تحلیل تقاضا پیش‌بینی ترافیک مدیریت حمل و نقل هواشناسی پیش‌بینی آب و هوا اقلیم‌شناسی زیست‌محیطی تحلیل زیست‌محیطی نظارت بر محیط زیست پزشکی پیش‌بینی بیماری‌ها اپیدمیولوژی تحلیل داده‌های پزشکی مهندسی پزشکی علوم اجتماعی جامعه‌شناسی روانشناسی علوم سیاسی تحلیل داده‌های اجتماعی تحلیل احساسات تحلیل شبکه‌های اجتماعی تبلیغات روابط عمومی سیاست‌گذاری عمومی تحلیل داده‌های دولتی تحلیل داده‌های آموزشی تحلیل داده‌های بهداشتی

شروع معاملات الآن

ثبت‌نام در IQ Option (حداقل واریز $10) باز کردن حساب در Pocket Option (حداقل واریز $5)

به جامعه ما بپیوندید

در کانال تلگرام ما عضو شوید @strategybin و دسترسی پیدا کنید به: ✓ سیگنال‌های معاملاتی روزانه ✓ تحلیل‌های استراتژیک انحصاری ✓ هشدارهای مربوط به روند بازار ✓ مواد آموزشی برای مبتدیان