آزمون مربع کای استقلال

مقدمه

آزمون مربع کای یکی از پرکاربردترین آزمون‌های آماری در آمار استنباطی است که برای بررسی استقلال دو متغیر دسته‌ای (categorical variables) به کار می‌رود. به عبارت دیگر، این آزمون به ما کمک می‌کند تا تعیین کنیم آیا بین دو متغیر دسته‌ای رابطه‌ای وجود دارد یا خیر. این آزمون در بسیاری از زمینه‌ها مانند علوم اجتماعی، علوم زیستی، بازاریابی و تحلیل داده‌ها کاربرد دارد. در این مقاله، به بررسی دقیق آزمون مربع کای استقلال، مفروضات آن، نحوه انجام آن، تفسیر نتایج و محدودیت‌های آن می‌پردازیم.

متغیر دسته‌ای چیست؟

قبل از پرداختن به جزئیات آزمون، لازم است در مورد متغیر دسته‌ای توضیحاتی ارائه دهیم. متغیر دسته‌ای، متغیری است که مقادیر آن به صورت گروه‌ها یا دسته‌هایی طبقه‌بندی می‌شوند. این دسته ها می‌توانند اسمی (nominal) یا ترتیبی (ordinal) باشند.

• **متغیر اسمی:** دسته‌ها هیچ ترتیبی ندارند. برای مثال، رنگ چشم (آبی، قهوه‌ای، سبز) یا جنسیت (مرد، زن).
• **متغیر ترتیبی:** دسته‌ها دارای یک ترتیب مشخص هستند. برای مثال، سطح تحصیلات (دیپلم، کاردانی، کارشناسی، ارشد، دکترا) یا درجه رضایت (خیلی ناراضی، ناراضی، خنثی، راضی، خیلی راضی).

مفروضات آزمون مربع کای استقلال

برای اینکه نتایج آزمون مربع کای استقلال معتبر باشند، باید مفروضات زیر برقرار باشند:

1. **استقلال مشاهدات:** مشاهدات باید مستقل از یکدیگر باشند. به این معنی که مقدار یک مشاهده نباید بر مقدار مشاهدات دیگر تأثیر بگذارد. 2. **داده‌های تصادفی:** داده‌ها باید به صورت تصادفی از جامعه آماری جمع‌آوری شده باشند. 3. **اندازه نمونه کافی:** اندازه نمونه (تعداد کل مشاهدات) باید به اندازه کافی بزرگ باشد. به طور کلی، توصیه می‌شود که حداقل 5 مشاهده در هر سلول از جدول توافقی (contingency table) وجود داشته باشد. 4. **متغیرها دسته‌ای باشند:** همانطور که گفته شد، این آزمون فقط برای متغیرهای دسته‌ای مناسب است.

نحوه انجام آزمون مربع کای استقلال

مراحل انجام آزمون مربع کای استقلال به شرح زیر است:

1. **فرمول‌بندی فرضیه‌ها:**

   *   **فرضیه صفر (Null Hypothesis):** دو متغیر مستقل هستند. به عبارت دیگر، هیچ رابطه‌ای بین دو متغیر وجود ندارد.
   *   **فرضیه جایگزین (Alternative Hypothesis):** دو متغیر مستقل نیستند. به عبارت دیگر، بین دو متغیر رابطه وجود دارد.

2. **تهیه جدول توافقی (Contingency Table):** داده‌ها را در یک جدول توافقی سازماندهی کنید. این جدول نشان می‌دهد که تعداد مشاهدات در هر ترکیب از دسته‌های دو متغیر چقدر است.

جدول توافقی

متغیر 2 - دسته 1 | متغیر 2 - دسته 2 | ... | متغیر 2 - دسته k | مجموع

O11 | O12 | ... | O1k | R1

O21 | O22 | ... | O2k | R2

... | ... | ... | ... | ...

Or1 | Or2 | ... | Ork | Rr

C1 | C2 | ... | Ck | N

   در این جدول:
   *   Oij نشان‌دهنده تعداد مشاهدات در سلول (i, j) است.
   *   Ri نشان‌دهنده مجموع مشاهدات در ردیف i است.
   *   Cj نشان‌دهنده مجموع مشاهدات در ستون j است.
   *   N نشان‌دهنده تعداد کل مشاهدات است.

3. **محاسبه مقادیر مورد انتظار (Expected Values):** مقادیر مورد انتظار برای هر سلول از جدول توافقی را محاسبه کنید. فرمول محاسبه مقدار مورد انتظار برای سلول (i, j) به شرح زیر است:

   Eij = (Ri * Cj) / N

4. **محاسبه آماره مربع کای (Chi-Square Statistic):** آماره مربع کای را با استفاده از فرمول زیر محاسبه کنید:

   χ2 = Σ [(Oij - Eij)2 / Eij]

   که در آن Σ نشان‌دهنده مجموع بر روی تمام سلول‌های جدول توافقی است.

5. **تعیین درجه آزادی (Degrees of Freedom):** درجه آزادی برابر است با:

   df = (r - 1) * (k - 1)

   که در آن r تعداد ردیف‌ها و k تعداد ستون‌های جدول توافقی است.

6. **تعیین سطح معناداری (Significance Level):** سطح معناداری (α) معمولاً برابر با 0.05 در نظر گرفته می‌شود.

7. **مقایسه آماره مربع کای با مقدار بحرانی (Critical Value):** با استفاده از جدول توزیع مربع کای و درجه آزادی محاسبه شده، مقدار بحرانی را پیدا کنید. اگر آماره مربع کای محاسبه شده بزرگتر از مقدار بحرانی باشد، فرضیه صفر را رد می‌کنیم.

8. **محاسبه مقدار p (P-value):** مقدار p احتمال مشاهده آماره مربع کای برابر یا بزرگتر از مقدار محاسبه شده است، در صورتی که فرضیه صفر درست باشد. اگر مقدار p کوچکتر از سطح معناداری (α) باشد، فرضیه صفر را رد می‌کنیم.

تفسیر نتایج

اگر فرضیه صفر رد شود، به این معنی است که بین دو متغیر رابطه معناداری وجود دارد. این رابطه می‌تواند مثبت یا منفی باشد. برای تفسیر دقیق‌تر، باید به جدول توافقی نگاه کنید و ببینید که کدام دسته‌ها با یکدیگر رابطه قوی‌تری دارند.

اگر فرضیه صفر رد نشود، به این معنی است که بین دو متغیر رابطه معناداری وجود ندارد. این به این معنی نیست که هیچ رابطه‌ای وجود ندارد، بلکه به این معنی است که داده‌های موجود شواهدی برای وجود رابطه ارائه نمی‌دهند.

مثال

فرض کنید می‌خواهیم بررسی کنیم آیا بین جنسیت (مرد، زن) و ترجیح رنگ (قرمز، آبی، سبز) رابطه‌ای وجود دارد یا خیر. داده‌های جمع‌آوری شده به شرح زیر است:

جدول توافقی - جنسیت و ترجیح رنگ

قرمز | آبی | سبز | مجموع

20 | 15 | 10 | 45

25 | 10 | 20 | 55

45 | 25 | 30 | 100

با استفاده از مراحل ذکر شده در بالا، می‌توانیم آزمون مربع کای را انجام دهیم. در این مثال، درجه آزادی برابر با (2-1) * (3-1) = 2 است. با استفاده از جدول توزیع مربع کای و سطح معناداری 0.05، مقدار بحرانی برابر با 5.991 است.

محاسبه آماره مربع کای:

E₁₁ = (45 * 45) / 100 = 20.25 E₁₂ = (45 * 25) / 100 = 11.25 E₁₃ = (45 * 30) / 100 = 13.5 E₂₁ = (55 * 45) / 100 = 24.75 E₂₂ = (55 * 25) / 100 = 13.75 E₂₃ = (55 * 30) / 100 = 16.5

χ² = [(20 - 20.25)² / 20.25] + [(15 - 11.25)² / 11.25] + [(10 - 13.5)² / 13.5] + [(25 - 24.75)² / 24.75] + [(10 - 13.75)² / 13.75] + [(20 - 16.5)² / 16.5] = 0.061 + 1.208 + 1.018 + 0.010 + 0.833 + 0.833 = 3.963

از آنجایی که آماره مربع کای محاسبه شده (3.963) کوچکتر از مقدار بحرانی (5.991) است، فرضیه صفر را رد نمی‌کنیم. بنابراین، شواهدی برای وجود رابطه معنادار بین جنسیت و ترجیح رنگ وجود ندارد.

محدودیت‌های آزمون مربع کای

آزمون مربع کای دارای محدودیت‌هایی نیز هست که باید در نظر گرفته شوند:

• **حساسیت به اندازه نمونه:** در نمونه‌های بزرگ، حتی روابط ضعیف نیز ممکن است معنادار شوند.
• **عدم ارائه اطلاعات در مورد جهت رابطه:** این آزمون فقط نشان می‌دهد که آیا رابطه‌ای وجود دارد یا خیر، اما جهت رابطه را مشخص نمی‌کند.
• **عدم امکان استفاده برای متغیرهای پیوسته:** این آزمون فقط برای متغیرهای دسته‌ای مناسب است.
• **مشکل در سلول‌های با فراوانی کم:** همانطور که گفته شد، داشتن فراوانی کم در برخی سلول‌ها می‌تواند منجر به نتایج غیردقیق شود.

کاربردهای دیگر و پیوند به مفاهیم مرتبط

• تحلیل واریانس (ANOVA): برای مقایسه میانگین‌های بیشتر از دو گروه.
• رگرسیون لجستیک (Logistic Regression): برای پیش‌بینی متغیرهای دسته‌ای.
• همبستگی پیرسون (Pearson Correlation): برای اندازه‌گیری رابطه بین دو متغیر پیوسته.
• تحلیل عاملی (Factor Analysis): برای کاهش ابعاد داده‌ها و شناسایی عوامل پنهان.
• تحلیل خوشه‌ای (Cluster Analysis): برای گروه‌بندی مشاهدات بر اساس شباهت‌هایشان.
• آزمون تی مستقل (Independent Samples T-Test): برای مقایسه میانگین‌های دو گروه مستقل.
• تحلیل بقا (Survival Analysis): برای بررسی زمان تا وقوع یک رویداد.

پیوند به استراتژی‌های مرتبط، تحلیل تکنیکال و تحلیل حجم معاملات

(این بخش برای ارتباط دادن موضوع به حوزه‌های مالی و اقتصادی اضافه شده است، اگرچه خود آزمون مربع کای مستقیماً به این حوزه‌ها مربوط نمی‌شود، اما می‌توان از آن برای تحلیل داده‌های دسته‌ای در این حوزه‌ها استفاده کرد.)

• تحلیل بنیادی (Fundamental Analysis): برای ارزیابی ارزش ذاتی یک دارایی.
• تحلیل تکنیکال (Technical Analysis): برای پیش‌بینی قیمت دارایی‌ها بر اساس الگوهای تاریخی.
• میانگین متحرک (Moving Average): یک اندیکاتور تکنیکال برای هموار کردن نوسانات قیمت.
• شاخص قدرت نسبی (Relative Strength Index - RSI): یک اندیکاتور تکنیکال برای اندازه‌گیری سرعت و تغییرات قیمت.
• اندیکاتور MACD (Moving Average Convergence Divergence): یک اندیکاتور تکنیکال برای شناسایی روندها و سیگنال‌های خرید و فروش.
• حجم معاملات (Trading Volume): تعداد سهام یا قراردادهایی که در یک دوره زمانی مشخص معامله شده‌اند.
• نوار حجم (Volume Bar): نمایش گرافیکی حجم معاملات در طول زمان.
• تحلیل چارت (Chart Analysis): بررسی الگوهای قیمتی در نمودارها.
• استراتژی اسکالپینگ (Scalping Strategy): یک استراتژی معاملاتی کوتاه مدت که هدف آن کسب سود از نوسانات کوچک قیمت است.
• استراتژی معاملات نوسانی (Swing Trading Strategy): یک استراتژی معاملاتی میان مدت که هدف آن کسب سود از نوسانات بزرگتر قیمت است.
• استراتژی معاملات موقعیتی (Position Trading Strategy): یک استراتژی معاملاتی بلند مدت که هدف آن کسب سود از روندهای طولانی مدت قیمت است.
• مدیریت ریسک (Risk Management): فرآیند شناسایی، ارزیابی و کنترل ریسک‌های مالی.
• تنظیم اندازه موقعیت (Position Sizing): تعیین مقدار سرمایه‌ای که باید در هر معامله سرمایه‌گذاری شود.
• تنوع‌سازی سبد سرمایه‌گذاری (Portfolio Diversification): کاهش ریسک با سرمایه‌گذاری در دارایی‌های مختلف.
• تحلیل احساسات بازار (Sentiment Analysis): ارزیابی نگرش و احساسات سرمایه‌گذاران نسبت به یک دارایی.

نتیجه‌گیری

آزمون مربع کای استقلال ابزاری قدرتمند برای بررسی رابطه بین دو متغیر دسته‌ای است. با این حال، مهم است که مفروضات آزمون را در نظر بگیرید و نتایج را با دقت تفسیر کنید. همچنین، باید به محدودیت‌های آزمون آگاه باشید و از آن در کنار سایر روش‌های آماری استفاده کنید.

شروع معاملات الآن

ثبت‌نام در IQ Option (حداقل واریز $10) باز کردن حساب در Pocket Option (حداقل واریز $5)

به جامعه ما بپیوندید

در کانال تلگرام ما عضو شوید @strategybin و دسترسی پیدا کنید به: ✓ سیگنال‌های معاملاتی روزانه ✓ تحلیل‌های استراتژیک انحصاری ✓ هشدارهای مربوط به روند بازار ✓ مواد آموزشی برای مبتدیان