مدل درخت دوجمله‌ای
مدل درخت دوجمله‌ای
مقدمه
مدل درخت دوجمله‌ای (Binomial Tree Model) یک روش عددی برای ارزیابی قیمت گزینه‌ها و سایر مشتقات مالی است. این مدل، به ویژه برای گزینه‌هایی که ویژگی‌های پیچیده‌ای دارند و فرمول بلک-شولز به طور مستقیم قابل استفاده نیست، بسیار مفید است. در این مقاله، به بررسی عمیق این مدل، مفروضات آن، نحوه ساخت درخت دوجمله‌ای، و کاربردهای آن می‌پردازیم. هدف این مقاله، ارائه یک راهنمای جامع برای مبتدیان است تا با درک کامل این مدل، بتوانند از آن در تحلیل و ارزیابی گزینه‌ها استفاده کنند.
مفروضات مدل درخت دوجمله‌ای
مدل درخت دوجمله‌ای بر پایه چند مفروضه کلیدی استوار است:
- **بازار کارا:** فرض بر این است که بازار کارا است و اطلاعات به سرعت در قیمت‌ها منعکس می‌شوند. این بدان معناست که هیچ فرصت سودآوری بدون ریسک وجود ندارد.
- **عدم وجود هزینه معاملات:** مدل فرض می‌کند که هیچ هزینه‌ای برای خرید و فروش دارایی پایه وجود ندارد.
- **نرخ بهره بدون ریسک ثابت:** نرخ بهره بدون ریسک در طول دوره عمر گزینه ثابت در نظر گرفته می‌شود.
- **توزیع نرمال بازده:** اگرچه مدل درخت دوجمله‌ای به طور مستقیم به توزیع نرمال بازده وابسته نیست، اما اغلب در ترکیب با مفروضات توزیعی استفاده می‌شود.
- **حرکت تصادفی قیمت:** قیمت دارایی پایه در هر مرحله زمانی، به طور تصادفی بالا یا پایین می‌رود.
ساخت درخت دوجمله‌ای
ساخت درخت دوجمله‌ای شامل مراحل زیر است:
1. **تعیین دوره زمانی:** ابتدا دوره زمانی تا سررسید گزینه را به تعدادی دوره زمانی گسسته تقسیم می‌کنیم. هر دوره زمانی به عنوان یک گره در درخت در نظر گرفته می‌شود. 2. **محاسبه ضریب افزایش و کاهش قیمت:** دو ضریب مهم در ساخت درخت دوجمله‌ای عبارتند از:
* u (ضریب افزایش): نشان‌دهنده میزان افزایش قیمت دارایی پایه در هر دوره زمانی است.
* d (ضریب کاهش): نشان‌دهنده میزان کاهش قیمت دارایی پایه در هر دوره زمانی است.
* این دو ضریب معمولاً به گونه‌ای محاسبه می‌شوند که قیمت دارایی پایه در هر دوره، به طور متوسط تغییر نکند. فرمول‌های رایج برای محاسبه آن‌ها عبارتند از:
* u = exp(σ√Δt)
* d = 1/u = exp(-σ√Δt)
* که در آن σ انحراف معیار بازده دارایی پایه و Δt طول هر دوره زمانی است.
3. **محاسبه احتمال بی‌طرفانه از ریسک (Risk-Neutral Probability):** این احتمال برای ارزیابی گزینه با استفاده از روش‌های ارزش‌گذاری بدون ریسک ضروری است. فرمول محاسبه این احتمال به شرح زیر است:
* p = (exp(rΔt) - d) / (u - d) * که در آن r نرخ بهره بدون ریسک است.
4. **ساخت درخت:** با استفاده از ضرایب u و d و احتمال بی‌طرفانه از ریسک، درخت دوجمله‌ای را می‌سازیم. در هر گره، قیمت دارایی پایه با ضرب کردن قیمت آن در گره قبلی در u یا d محاسبه می‌شود. 5. **محاسبه ارزش گزینه در سررسید:** در آخرین گره‌های درخت (سررسید گزینه)، ارزش گزینه را بر اساس سود حاصل از آن محاسبه می‌کنیم. 6. **محاسبه ارزش گزینه در گره‌های قبلی:** با استفاده از روش ارزش‌گذاری پس‌رو (Backward Induction)، ارزش گزینه را در گره‌های قبلی محاسبه می‌کنیم. در هر گره، ارزش گزینه برابر است با میانگین وزنی ارزش‌های آن در گره‌های بعدی، با استفاده از احتمال بی‌طرفانه از ریسک.
| ! گره ! قیمت دارایی پایه ! ارزش گزینه |
| S0 | C0 |
| S0u | Cu |
| S0d | Cd |
| S0u^2 | Cuu |
| S0ud | Cud |
| S0du | Cdu |
| S0d^2 | Cdd |
ارزش‌گذاری گزینه‌ها با استفاده از مدل درخت دوجمله‌ای
پس از ساخت درخت دوجمله‌ای و محاسبه ارزش گزینه در تمام گره‌ها، ارزش گزینه در گره ریشه (اکنون) نشان‌دهنده قیمت منصفانه گزینه است.
- مثال:**
فرض کنید یک گزینه خرید اروپایی با قیمت توافقی 100 دلار و سررسید 3 ماهه داریم. انحراف معیار بازده دارایی پایه 20% در سال و نرخ بهره بدون ریسک 5% در سال است. می‌خواهیم با استفاده از مدل درخت دوجمله‌ای، قیمت این گزینه را محاسبه کنیم.
1. **دوره زمانی:** دوره زمانی 3 ماهه را به 3 دوره زمانی یک ماهه تقسیم می‌کنیم. 2. **ضریب افزایش و کاهش قیمت:**
* σ = 0.20 * Δt = 1/12 * u = exp(0.20√(1/12)) ≈ 1.0161 * d = 1/u ≈ 0.9839
3. **احتمال بی‌طرفانه از ریسک:**
* r = 0.05 * p = (exp(0.05/12) - 0.9839) / (1.0161 - 0.9839) ≈ 0.6038
4. **ساخت درخت:** درخت دوجمله‌ای را با استفاده از ضرایب u و d و احتمال بی‌طرفانه از ریسک می‌سازیم. 5. **محاسبه ارزش گزینه در سررسید:** در آخرین گره‌ها، ارزش گزینه برابر است با max(0, S - K) که در آن S قیمت دارایی پایه و K قیمت توافقی است. 6. **محاسبه ارزش گزینه در گره‌های قبلی:** با استفاده از روش ارزش‌گذاری پس‌رو، ارزش گزینه را در گره‌های قبلی محاسبه می‌کنیم.
مزایا و معایب مدل درخت دوجمله‌ای
- مزایا:**
- **سادگی:** مدل درخت دوجمله‌ای نسبتاً ساده است و به راحتی قابل درک است.
- **انعطاف‌پذیری:** این مدل می‌تواند برای ارزیابی انواع مختلف گزینه‌ها، از جمله گزینه‌های آمریکایی و گزینه‌های با ویژگی‌های پیچیده، استفاده شود.
- **قابلیت تعمیم:** مدل درخت دوجمله‌ای را می‌توان به مدل‌های چندجمله‌ای تعمیم داد تا دقت بیشتری در ارزیابی گزینه‌ها به دست آورد.
- **درک شهودی:** به دلیل ساختار درختی، درک نحوه تاثیر تغییرات قیمت دارایی پایه بر ارزش گزینه آسان است.
- معایب:**
- **تقریب:** مدل درخت دوجمله‌ای یک تقریب از قیمت واقعی گزینه است. هرچه تعداد دوره‌های زمانی بیشتر باشد، تقریب دقیق‌تر خواهد بود.
- **محاسبات:** با افزایش تعداد دوره‌های زمانی، محاسبات پیچیده‌تر می‌شوند.
- **مفروضات:** مدل بر پایه مفروضاتی استوار است که ممکن است در دنیای واقعی برقرار نباشند.
کاربردهای مدل درخت دوجمله‌ای
- **ارزیابی گزینه‌ها:** اصلی‌ترین کاربرد این مدل، ارزیابی قیمت گزینه‌های مختلف است.
- **مدیریت ریسک:** مدل درخت دوجمله‌ای می‌تواند برای ارزیابی ریسک ناشی از سرمایه‌گذاری در گزینه‌ها استفاده شود.
- **استراتژی‌های معاملاتی:** این مدل می‌تواند به طراحی و ارزیابی استراتژی‌های معاملاتی مبتنی بر گزینه کمک کند.
- **تحلیل حساسیت:** با تغییر مفروضات مدل، می‌توان تحلیل حساسیت را انجام داد و تاثیر تغییرات در مفروضات بر قیمت گزینه را بررسی کرد.
- **ارزیابی سایر مشتقات مالی:** مدل درخت دوجمله‌ای را می‌توان برای ارزیابی سایر مشتقات مالی، مانند سوآپ و اوراق بهادار مبتنی بر اعتبار، نیز استفاده کرد.
مقایسه با سایر مدل‌های ارزش‌گذاری گزینه
- **مدل بلک-شولز:** مدل بلک-شولز یک فرمول تحلیلی است که برای ارزیابی گزینه‌های اروپایی استفاده می‌شود. این مدل بر پایه مفروضات قوی‌تری استوار است و برای گزینه‌های آمریکایی یا گزینه‌های با ویژگی‌های پیچیده قابل استفاده نیست. مدل درخت دوجمله‌ای انعطاف‌پذیری بیشتری دارد و می‌تواند برای ارزیابی انواع مختلف گزینه‌ها استفاده شود.
- **مدل مونت‌کارلو:** مدل مونت‌کارلو یک روش شبیه‌سازی است که برای ارزیابی گزینه‌ها استفاده می‌شود. این مدل می‌تواند برای ارزیابی گزینه‌های با ویژگی‌های بسیار پیچیده استفاده شود، اما محاسبات آن بسیار زمان‌بر است.
استراتژی‌های معاملاتی مرتبط
تحلیل تکنیکال و تحلیل حجم معاملات مرتبط
منابع بیشتر
- Hull, J. C. (2018). *Options, Futures, and Other Derivatives*. John Wiley & Sons.
- Natenberg, S. (2013). *Option Volatility & Pricing: Advanced Trading Strategies and Techniques*. John Wiley & Sons.
ارزش‌گذاری مشتقات مالی گزینه آمریکایی گزینه اروپایی نرخ بهره بدون ریسک انحراف معیار توزیع نرمال مدل بلک-شولز مدل مونت‌کارلو ارزش‌گذاری پس‌رو ارزش‌گذاری بدون ریسک سود قیمت توافقی استراتژی‌های معاملاتی با گزینه تحلیل تکنیکال تحلیل حجم معاملات سوآپ اوراق بهادار مبتنی بر اعتبار پوشش ریسک مدیریت ریسک بازار کارا مشتقات مالی
- توضیح:** این دسته‌بندی به دلیل تمرکز مقاله بر روی مدل‌سازی مالی و ارزیابی گزینه‌ها، مناسب‌ترین گزینه است. این مدل یک ابزار کلیدی در حوزه مدل‌سازی مالی برای قیمت‌گذاری و مدیریت ریسک است.
شروع معاملات الآن
ثبت‌نام در IQ Option (حداقل واریز $10) باز کردن حساب در Pocket Option (حداقل واریز $5)
به جامعه ما بپیوندید
در کانال تلگرام ما عضو شوید @strategybin و دسترسی پیدا کنید به: ✓ سیگنال‌های معاملاتی روزانه ✓ تحلیل‌های استراتژیک انحصاری ✓ هشدارهای مربوط به روند بازار ✓ مواد آموزشی برای مبتدیان
