توزیع پواسون
توزیع پواسون
مقدمه
توزیع پواسون (Poisson distribution) یک توزیع احتمال گسسته است که احتمال وقوع تعداد معینی رویداد در یک بازه زمانی یا مکانی مشخص را نشان می‌دهد. این توزیع به خصوص زمانی مفید است که رویدادها به طور مستقل و با نرخ ثابتی رخ دهند. به عبارت دیگر، احتمال وقوع یک رویداد در یک بازه زمانی خاص، مستقل از وقوع رویدادهای دیگر در بازه‌های زمانی دیگر است. این توزیع در زمینه‌های مختلفی از جمله آمار، فیزیک، زیست‌شناسی، مهندسی و مالی کاربرد دارد. برای مثال، می‌توان از توزیع پواسون برای مدل‌سازی تعداد تماس‌های تلفنی در یک ساعت، تعداد خطاها در یک صفحه چاپ، یا تعداد مشتریانی که در یک دقیقه وارد یک فروشگاه می‌شوند، استفاده کرد.
تاریخچه
توزیع پواسون به نام سیمون دِنی پواسون، ریاضیدان، فیزیکدان، مهندس و اخترشناس فرانسوی نامگذاری شده است. پواسون در سال ۱۸۳۷ این توزیع را در بررسی تعداد خطاهایی که در انتشار کتاب‌ها رخ می‌دهد، معرفی کرد. با این حال، قبلاً آبرهام دو مواور در سال ۱۷۱۱ این توزیع را در ارتباط با مرگ و میر ناشی از بیماری‌ها کشف کرده بود، اما کار پواسون به دلیل گستردگی کاربرد و ارائه فرمولاسیون ریاضی دقیق‌تر، شناخته شده‌تر شد.
ویژگی‌های توزیع پواسون
توزیع پواسون دارای ویژگی‌های کلیدی زیر است:
- **گسسته بودن:** متغیر تصادفی در توزیع پواسون فقط می‌تواند مقادیر صحیح غیرمنفی را بپذیرد (۰، ۱، ۲، ...).
- **استقلال:** وقوع هر رویداد مستقل از وقوع رویدادهای دیگر است.
- **نرخ ثابت:** میانگین نرخ وقوع رویداد در هر بازه زمانی یا مکانی ثابت است.
- **پارامتر λ (لامبدا):** توزیع پواسون توسط یک پارامتر به نام λ (لامبدا) مشخص می‌شود که نشان‌دهنده میانگین تعداد رویدادها در بازه زمانی یا مکانی مورد نظر است.
فرمول توزیع پواسون
احتمال وقوع k رویداد در یک بازه زمانی یا مکانی مشخص با استفاده از فرمول زیر محاسبه می‌شود:
P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!
در این فرمول:
- P(X = k) احتمال وقوع k رویداد است.
- λ (لامبدا) میانگین تعداد رویدادها در بازه زمانی یا مکانی مورد نظر است.
- e عدد نپر (تقریباً ۲.۷۱۸۲۸) است.
- k! فاکتوریل k است (حاصل ضرب تمام اعداد صحیح مثبت از ۱ تا k).
مثال‌ها
- **مثال ۱:** فرض کنید یک مرکز تماس تلفنی به طور متوسط در هر ساعت ۵ تماس دریافت می‌کند. احتمال اینکه در یک ساعت خاص دقیقاً ۳ تماس دریافت شود چقدر است؟
در این مثال، λ = ۵ و k = ۳. با استفاده از فرمول توزیع پواسون:
P(X = 3) = (e^(-5) * 5^3) / 3! = (0.0067 * 125) / 6 = 0.1404
بنابراین، احتمال اینکه در یک ساعت خاص دقیقاً ۳ تماس دریافت شود، حدود ۱۴.۰۴٪ است.
- **مثال ۲:** یک فروشگاه آنلاین به طور متوسط در هر روز ۲۰ بسته پستی ارسال می‌کند. احتمال اینکه در یک روز خاص دقیقاً ۱۵ بسته پستی ارسال شود چقدر است؟
در این مثال، λ = ۲۰ و k = ۱۵. با استفاده از فرمول توزیع پواسون:
P(X = 15) = (e^(-20) * 20^15) / 15! = (2.06 * 10^-9 * 3.28 * 10^19) / 1.31 * 10^12 = 0.0516
بنابراین، احتمال اینکه در یک روز خاص دقیقاً ۱۵ بسته پستی ارسال شود، حدود ۵.۱۶٪ است.
ارتباط با توزیع‌های دیگر
- **توزیع دوجمله‌ای:** توزیع پواسون را می‌توان به عنوان یک حالت خاص از توزیع دوجمله‌ای در نظر گرفت، زمانی که تعداد آزمایش‌ها (n) بسیار زیاد و احتمال موفقیت در هر آزمایش (p) بسیار کم باشد. در این حالت، λ = n * p.
- **توزیع نمایی:** توزیع پواسون و توزیع نمایی ارتباط نزدیکی با یکدیگر دارند. توزیع نمایی برای مدل‌سازی زمان بین وقوع رویدادها استفاده می‌شود، در حالی که توزیع پواسون برای مدل‌سازی تعداد رویدادها در یک بازه زمانی خاص استفاده می‌شود.
- **توزیع گاما:** توزیع گاما یک توزیع پیوسته است که می‌تواند برای مدل‌سازی زمان تا وقوع k-امین رویداد در یک فرآیند پواسون استفاده شود.
کاربردهای توزیع پواسون
- **ترافیک شبکه:** مدل‌سازی تعداد بسته‌های داده‌ای که در یک بازه زمانی مشخص از طریق یک شبکه منتقل می‌شوند.
- **سیستم‌های صف:** تحلیل عملکرد سیستم‌های صف، مانند تعداد مشتریانی که در یک صف انتظار می‌کشند.
- **کنترل کیفیت:** بررسی تعداد نقص‌ها در یک محصول تولید شده.
- **بیمه:** مدل‌سازی تعداد خسارات در یک دوره زمانی مشخص.
- **تحلیل ریسک:** ارزیابی احتمال وقوع رویدادهای نادر، مانند زلزله یا سیل.
- **تحلیل حجم معاملات (Volume Analysis):** بررسی تعداد معاملات انجام شده در یک بازه زمانی مشخص در بازار بورس. حجم معاملات می‌تواند برای تایید روندها و شناسایی نقاط ورود و خروج مناسب استفاده شود.
- **استراتژی‌های میانگین متحرک (Moving Average Strategies):** استفاده از توزیع پواسون برای تعیین پارامترهای بهینه در استراتژی‌های مبتنی بر میانگین متحرک. میانگین متحرک به عنوان یک فیلتر برای کاهش نویز و شناسایی روندها عمل می‌کند.
- **شاخص قدرت نسبی (Relative Strength Index - RSI):** بررسی توزیع تغییرات قیمت با استفاده از توزیع پواسون برای شناسایی شرایط خرید یا فروش بیش از حد. RSI یک نوسانگر است که سرعت و تغییرات قیمت را اندازه‌گیری می‌کند.
- **باندهای بولینگر (Bollinger Bands):** استفاده از توزیع پواسون برای تعیین عرض مناسب باندهای بولینگر بر اساس نوسانات قیمت. باندهای بولینگر یک ابزار محبوب برای شناسایی سطوح حمایت و مقاومت هستند.
- **مدل‌های پیش‌بینی قیمت (Price Prediction Models):** استفاده از توزیع پواسون در ترکیب با سایر مدل‌های آماری برای پیش‌بینی قیمت سهام یا سایر دارایی‌ها.
- **تحلیل تکنیکال (Technical Analysis):** استفاده از توزیع پواسون برای شناسایی الگوهای تکرارشونده در داده‌های قیمت و حجم معاملات.
- **الگوی پرچم (Flag Pattern):** بررسی تعداد دفعاتی که قیمت در یک الگوی پرچم برگشته است با استفاده از توزیع پواسون.
- **الگوی سر و شانه (Head and Shoulders Pattern):** تحلیل احتمال تشکیل الگوی سر و شانه با استفاده از توزیع پواسون.
- **الگوی مثلث (Triangle Pattern):** ارزیابی احتمال شکست قیمت از یک الگوی مثلث با استفاده از توزیع پواسون.
- **واگرایی (Divergence):** بررسی تعداد دفعاتی که واگرایی بین قیمت و اندیکاتورها رخ می‌دهد با استفاده از توزیع پواسون.
- **شکست خط روند (Trendline Breakout):** تحلیل احتمال شکست خط روند با استفاده از توزیع پواسون.
- **میانگین‌های متحرک نمایی (Exponential Moving Averages - EMAs):** استفاده از توزیع پواسون برای تعیین دوره‌های زمانی بهینه برای EMAs.
- **اندیکاتور MACD (Moving Average Convergence Divergence):** بررسی توزیع سیگنال‌های MACD با استفاده از توزیع پواسون.
- **نوسانگر استوکاستیک (Stochastic Oscillator):** تحلیل احتمال خروج از شرایط خرید یا فروش بیش از حد با استفاده از توزیع پواسون.
- **تحلیل فیبوناچی (Fibonacci Analysis):** بررسی تعداد دفعاتی که قیمت به سطوح فیبوناچی واکنش نشان می‌دهد با استفاده از توزیع پواسون.
- **تحلیل موج الیوت (Elliott Wave Analysis):** ارزیابی احتمال تکمیل یک الگوی موج الیوت با استفاده از توزیع پواسون.
محدودیت‌های توزیع پواسون
- فرض استقلال رویدادها: در بسیاری از موارد، رویدادها به طور کامل مستقل نیستند.
- فرض نرخ ثابت: نرخ وقوع رویدادها ممکن است در طول زمان تغییر کند.
- مناسب نبودن برای داده‌های پیوسته: توزیع پواسون فقط برای داده‌های گسسته قابل استفاده است.
محاسبات با استفاده از نرم‌افزارها
محاسبه احتمال توزیع پواسون به صورت دستی می‌تواند زمان‌بر باشد، به خصوص برای مقادیر بزرگ λ و k. خوشبختانه، نرم‌افزارهای آماری مختلفی مانند R، Python، Excel و SPSS امکان محاسبه احتمال توزیع پواسون را به راحتی فراهم می‌کنند.
نتیجه‌گیری
توزیع پواسون یک ابزار قدرتمند برای مدل‌سازی تعداد رویدادها در بازه‌های زمانی یا مکانی مشخص است. این توزیع در زمینه‌های مختلفی کاربرد دارد و به تحلیلگران و محققان کمک می‌کند تا پدیده‌های تصادفی را بهتر درک کنند. درک اصول و فرمولاسیون توزیع پواسون برای هر کسی که با داده‌های آماری سروکار دارد، ضروری است.
آمار توصیفی احتمال شرطی توزیع نرمال توزیع یکنواخت نمونه‌گیری آماری آزمون فرض رگرسیون آنالیز واریانس نمودار پراکندگی هیستوگرام میانگین انحراف معیار واریانس همبستگی رگرسیون خطی سری‌های زمانی تحلیل داده مدل‌سازی آماری نظریه احتمال
شروع معاملات الآن
ثبت‌نام در IQ Option (حداقل واریز $10) باز کردن حساب در Pocket Option (حداقل واریز $5)
به جامعه ما بپیوندید
در کانال تلگرام ما عضو شوید @strategybin و دسترسی پیدا کنید به: ✓ سیگنال‌های معاملاتی روزانه ✓ تحلیل‌های استراتژیک انحصاری ✓ هشدارهای مربوط به روند بازار ✓ مواد آموزشی برای مبتدیان
