Árbol binomial

Árbol Binomial

El árbol binomial es un modelo matemático utilizado extensivamente en las finanzas, especialmente en la valoración de opciones financieras, incluyendo las opciones binarias. Aunque puede parecer complejo al principio, el concepto subyacente es relativamente sencillo: se basa en la idea de que el precio de un activo subyacente (como una acción, un índice o una divisa) puede moverse solo en dos direcciones durante un período de tiempo determinado: hacia arriba o hacia abajo. Este artículo proporciona una introducción exhaustiva al árbol binomial para principiantes, cubriendo sus fundamentos, construcción, aplicación en la valoración de opciones binarias, ventajas y desventajas, y consideraciones avanzadas.

Fundamentos del Árbol Binomial

A diferencia de modelos más complejos como el modelo de Black-Scholes, el árbol binomial es un modelo discreto en el tiempo. Esto significa que divide el tiempo hasta el vencimiento de la opción en un número finito de intervalos de tiempo. En cada intervalo, el precio del activo subyacente puede moverse a uno de dos posibles precios:

**Precio hacia arriba (u):** El precio del activo aumenta.
**Precio hacia abajo (d):** El precio del activo disminuye.

La magnitud de estos movimientos (u y d) se determina por parámetros específicos del modelo, que se explicarán más adelante. La probabilidad de que el precio suba o baje se denota generalmente como 'p'. Es importante notar que, en un árbol binomial construido correctamente, la probabilidad 'p' es la probabilidad neutral al riesgo, lo que significa que no incorpora las expectativas de los inversores sobre la dirección futura del precio del activo.

El árbol binomial se construye de forma recursiva, comenzando con el precio actual del activo subyacente en el tiempo cero (S₀) y ramificándose hacia adelante en el tiempo hasta el vencimiento de la opción (T). Cada nodo en el árbol representa el precio del activo en un momento específico.

Construcción de un Árbol Binomial

La construcción de un árbol binomial implica los siguientes pasos:

1. **Determinar el número de pasos (n):** Cuanto mayor sea el número de pasos, más preciso será el modelo, pero también más complejo. Un número común de pasos suele estar entre 100 y 1000, dependiendo de la precisión deseada y la capacidad computacional.

2. **Calcular el factor de aumento (u) y el factor de disminución (d):** Existen varias formas de calcular u y d. Una forma común es utilizar el modelo de Cox-Ross-Rubinstein, donde:

   *   u = e^σ√Δt
   *   d = 1/u = e^-σ√Δt

   Donde:

   *   σ es la volatilidad del activo subyacente. La volatilidad es una medida de la fluctuación del precio.
   *   Δt = T/n es la duración de cada paso de tiempo (tiempo hasta el vencimiento dividido por el número de pasos).
   *   T es el tiempo hasta el vencimiento de la opción.
   *   e es la base del logaritmo natural (aproximadamente 2.71828).

3. **Calcular la probabilidad neutral al riesgo (p):** La probabilidad neutral al riesgo se calcula de la siguiente manera:

   *   p = (e^rΔt - d) / (u - d)

   Donde:

   *   r es la tasa de interés libre de riesgo.  La tasa de interés afecta el valor presente de los flujos de efectivo futuros.

4. **Construir el árbol:** Comenzando con el precio actual (S₀), se ramifica el árbol hacia arriba y hacia abajo en cada paso de tiempo. El precio en cada nodo se calcula multiplicando el precio del nodo padre por u (hacia arriba) o por d (hacia abajo).

5. **Calcular el valor de la opción en los nodos terminales:** En el vencimiento de la opción (último nodo de cada rama), se calcula el valor intrínseco de la opción. Para una opción call, el valor intrínseco es max(S_T - K, 0), donde S_T es el precio del activo subyacente en el vencimiento y K es el precio de ejercicio. Para una opción put, el valor intrínseco es max(K - S_T, 0). En el caso de una opción binaria, el valor en los nodos terminales es simplemente el pago fijo predefinido (por ejemplo, 100) si la opción está "in the money" y 0 si está "out of the money".

6. **Retroceder en el árbol:** Se trabaja hacia atrás desde los nodos terminales, calculando el valor de la opción en cada nodo anterior descontando el valor esperado de la opción en los nodos siguientes utilizando la probabilidad neutral al riesgo. La fórmula es:

   *   Valor de la opción en el nodo actual = e^-rΔt [p * Valor de la opción en el nodo hacia arriba + (1-p) * Valor de la opción en el nodo hacia abajo]

   Este proceso se repite hasta llegar al nodo inicial, que representa el valor actual de la opción.

Aplicación a Opciones Binarias

El árbol binomial es particularmente útil para valorar opciones binarias debido a su naturaleza discreta. Una opción binaria paga una cantidad fija si el precio del activo subyacente está por encima o por debajo de un cierto precio de ejercicio en el vencimiento.

En el contexto de las opciones binarias, el valor de la opción en los nodos terminales es sencillo:

**Call Binaria:** Si S_T > K, el valor de la opción es el pago fijo (por ejemplo, 100). Si S_T ≤ K, el valor de la opción es 0.
**Put Binaria:** Si S_T < K, el valor de la opción es el pago fijo. Si S_T ≥ K, el valor de la opción es 0.

El proceso de retroceso en el árbol sigue siendo el mismo que se describe anteriormente, utilizando la probabilidad neutral al riesgo para descontar los valores esperados.

Ventajas del Árbol Binomial

**Flexibilidad:** Puede manejar opciones con características complejas, como opciones americanas (que pueden ejercerse en cualquier momento antes del vencimiento) y opciones con dividendos.
**Intuitivo:** El modelo es relativamente fácil de entender y visualizar.
**Adaptabilidad:** Puede adaptarse a diferentes modelos de volatilidad y tasas de interés.
**Versatilidad:** Puede ser utilizado para valorar una amplia gama de productos derivados.

Desventajas del Árbol Binomial

**Intensivo en cómputo:** El cálculo se vuelve más complejo a medida que aumenta el número de pasos, lo que puede requerir una potencia computacional significativa.
**Convergencia:** La precisión del modelo depende del número de pasos. Un número insuficiente de pasos puede llevar a resultados inexactos.
**Simplificación:** El modelo asume que el precio del activo solo puede moverse en dos direcciones, lo cual es una simplificación de la realidad.

Consideraciones Avanzadas

**Opciones Americanas:** Para valorar una opción americana con un árbol binomial, se debe verificar en cada nodo si es óptimo ejercer la opción inmediatamente. Si el valor intrínseco de la opción es mayor que el valor descontado de mantener la opción, entonces se ejerce inmediatamente.
**Dividendos:** Si el activo subyacente paga dividendos, se deben restar los dividendos del precio del activo antes de construir el árbol.
**Volatilidad Variable:** En la vida real, la volatilidad no es constante. Se pueden utilizar modelos de volatilidad estocástica para incorporar la volatilidad variable en el árbol binomial.
**Árboles Trinomiales:** Una extensión del árbol binomial es el árbol trinomial, que permite que el precio del activo se mueva en tres direcciones: hacia arriba, hacia abajo o mantenerse igual. Esto puede mejorar la precisión del modelo, pero también aumenta su complejidad.

Ejemplo Ilustrativo

Consideremos una opción call binaria con las siguientes características:

Precio actual del activo (S₀): 100
Precio de ejercicio (K): 105
Tiempo hasta el vencimiento (T): 1 año
Tasa de interés libre de riesgo (r): 5%
Volatilidad (σ): 20%
Número de pasos (n): 2

Calculando u, d y p:

Δt = 1/2 = 0.5
u = e^0.20√0.5 ≈ 1.1503
d = 1/1.1503 ≈ 0.8693
p = (e^0.05*0.5 - 0.8693) / (1.1503 - 0.8693) ≈ 0.6428

El árbol binomial resultante tendría tres nodos en el tiempo t=0.5 y tres nodos en el tiempo t=1. En los nodos terminales (t=1), se calcularía el valor de la opción call binaria (100 si S_T > 105, 0 en caso contrario). Luego, se retrocedería en el árbol para calcular el valor actual de la opción.

Conclusión

El árbol binomial es una herramienta poderosa y versátil para la valoración de opciones, incluyendo las opciones binarias. Aunque tiene sus limitaciones, ofrece una alternativa intuitiva y flexible a modelos más complejos. Comprender los principios básicos del árbol binomial es esencial para cualquier persona que se involucre en el comercio de opciones o la gestión de riesgos financieros.

Enlaces Relacionados

Comienza a operar ahora

Regístrate en IQ Option (depósito mínimo $10) Abre una cuenta en Pocket Option (depósito mínimo $5)

Únete a nuestra comunidad

Suscríbete a nuestro canal de Telegram @strategybin y obtén: ✓ Señales de trading diarias ✓ Análisis estratégicos exclusivos ✓ Alertas sobre tendencias del mercado ✓ Materiales educativos para principiantes