Conjugate Gradient Method
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Konjugierte Gradientenmethode
Die konjugierte Gradientenmethode (KGM) ist ein iteratives Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mit symmetrischen und positiv definiten Matrizen. Sie ist besonders effizient für große, dünnbesetzte Matrizen, die häufig in der Numerische Mathematik und in verschiedenen Anwendungen wie der Finite-Elemente-Methode und der Optimierung auftreten. Obwohl ursprünglich für lineare Gleichungssysteme entwickelt, kann die KGM auch zur Minimierung von quadratischen Funktionen verwendet werden. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Einführung in die KGM, ihre Funktionsweise, ihre Varianten und ihre Anwendungen, insbesondere im Kontext von Finanzmodellen und der Analyse von binären Optionen.
Grundlagen
Betrachten wir das lineare Gleichungssystem:
Ax = b
wobei:
- A eine symmetrische und positiv definite Matrix ist.
- x der Vektor der Unbekannten ist.
- b der rechte Seite Vektor ist.
Die KGM löst dieses System iterativ, indem sie eine Folge von Approximationen für x erzeugt, die gegen die tatsächliche Lösung konvergieren. Im Gegensatz zu anderen iterativen Methoden wie der Jacobi-Methode oder der Gauss-Seidel-Methode nutzt die KGM Informationen aus vorherigen Iterationen, um die Konvergenz zu beschleunigen.
Der Algorithmus
Der Algorithmus der konjugierten Gradientenmethode lässt sich in folgende Schritte unterteilen:
1. **Initialisierung:** Wähle einen Startvektor x₀ (oft der Nullvektor) und berechne den Residuenvektor r₀ = b - Ax₀. 2. **Berechnung der Suchrichtung:** Die Suchrichtung p₀ wird initial als r₀ gesetzt. 3. **Iteration:** Für k = 0, 1, 2, ...:
a. Berechne den Skalierungsfaktor αk:
αk = (rkT rk) / (pkT Apk)
b. Aktualisiere die Lösung:
xk+1 = xk + αk pk
c. Berechne das neue Residuum:
rk+1 = rk - αk Apk
d. Berechne die neue Suchrichtung:
pk+1 = rk+1 + βk pk
wobei βk der Konjugationsparameter ist, der typischerweise wie folgt berechnet wird:
βk = (rk+1T rk+1) / (rkT rk)
4. **Konvergenzprüfung:** Überprüfe, ob das Residuum rk+1 klein genug ist (z.B. ||rk+1|| < ε, wobei ε eine vorgegebene Toleranz ist). Wenn ja, dann terminiere den Algorithmus und gib xk+1 als Lösung aus. Andernfalls gehe zu Schritt 1 zurück.
Konjugierte Gradienten mit Vorbedingung
Für schlecht konditionierte Matrizen, die für [[Vorhersage von binäre Optionenhandel], kann die KGM zu einer langsamer sein. Die Vorbedingung ist eine Technik, die die Technische Analyse und die Volumenanalyse kann die KGM-Methode zur Verbesserung der Konjugierte Gradienten mit Vorbedingung kann die Strategien für binäre Optionen und Strategie für binare Optionen und [[Strategie binäre Optionenhandel: Konjugate Gradienten die-Strategie:
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