Binomialbaum

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Binomialbaum

Der Binomialbaum ist ein fundamentales Werkzeug in der Finanzmathematik zur Bewertung von Optionen, insbesondere von Amerikanischen Optionen und exotischen Optionen. Er bietet eine diskrete Modellierung der Preisentwicklung eines Basiswerts über die Zeit und ermöglicht die Berechnung des theoretischen Wertes von Optionen, die auf diesem Basiswert basieren. Dieser Artikel richtet sich an Anfänger und erklärt die Funktionsweise des Binomialbaums, seine Anwendung in der Bewertung von Binären Optionen und seine Vor- und Nachteile.

Grundlagen des Binomialbaums

Im Kern geht der Binomialbaum von der Annahme aus, dass der Preis eines Basiswerts in einem bestimmten Zeitraum nicht kontinuierlich, sondern nur in zwei mögliche Zustände übergehen kann: er steigt (Up-Move) oder er fällt (Down-Move). Dies ist die Grundlage für den Namen "Binomialbaum", da der Baum aus zwei möglichen Pfaden pro Knoten besteht.

Die wichtigsten Parameter, die einen Binomialbaum definieren, sind:

  • Zeitraum (n): Die Anzahl der Zeitschritte, in die die Zeit bis zum Verfall der Option unterteilt wird. Je höher 'n', desto genauer die Modellierung, aber auch desto rechenintensiver.
  • Aufwärtsfaktor (u): Der Faktor, um den sich der Preis des Basiswerts bei einem Up-Move erhöht.
  • Abwärtsfaktor (d): Der Faktor, um den sich der Preis des Basiswerts bei einem Down-Move verringert.
  • Risikoneutraler Zinssatz (r): Der Zinssatz, der verwendet wird, um die zukünftigen Cashflows auf den heutigen Wert abzuzinsen. Dieser Satz wird so gewählt, dass er keine Arbitragemöglichkeiten im Markt zulässt.
  • Volatilität (σ): Ein Maß für die Schwankungsbreite des Basiswerts. Die Volatilität beeinflusst die Wahrscheinlichkeit eines Up- oder Down-Moves.

Konstruktion eines Binomialbaums

Um einen Binomialbaum zu konstruieren, beginnt man mit dem aktuellen Preis des Basiswerts (S) zum Zeitpunkt 0. In jedem Zeitraum 'n' verzweigt sich der Preis in zwei mögliche Pfade:

  • Up-Move: Der Preis steigt auf S * u.
  • Down-Move: Der Preis fällt auf S * d.

Dieser Prozess wird für jeden Zeitraum wiederholt, bis der Verfallstermin der Option erreicht ist. Das Ergebnis ist ein Baum, der alle möglichen Preisentwicklungen des Basiswerts über die Zeit darstellt.

Beispiel eines Binomialbaums (n=3)
Preis bei Down-Move | Preis bei Up-Move | S | S | S * d | S * u | S * d2 | S * d * u | S * u2 | S * d3 | S * d2 * u | S * d * u2 | S * u3 |

Bewertung von Binären Optionen mit dem Binomialbaum

Binäre Optionen zahlen einen festen Betrag aus, wenn der Preis des Basiswerts zum Verfallstermin über (Call-Option) oder unter (Put-Option) einem bestimmten Strike-Preis liegt. Andernfalls verfällt die Option wertlos.

Die Bewertung einer binären Option mit dem Binomialbaum erfolgt durch eine rückwärtige Induktion. Man beginnt mit dem Verfallstermin (n) und berechnet den Wert der Option an jedem Knoten des Baums.

  • Verfallstermin (n): An jedem Endknoten des Baums wird der Wert der Option basierend auf der Auszahlung berechnet. Wenn der Preis des Basiswerts über dem Strike-Preis liegt (bei einer Call-Option), ist der Wert der Option der feste Auszahlungsbetrag. Andernfalls ist der Wert der Option 0.
  • Rückwärtige Induktion: Für jeden Knoten im Baum, der nicht ein Endknoten ist, wird der Wert der Option als der gewichtete Durchschnitt der Werte der Option in den beiden nachfolgenden Knoten berechnet. Die Gewichtung erfolgt unter Verwendung der risikoneutralen Wahrscheinlichkeit eines Up- oder Down-Moves.

Die Formel für die rückwärtige Induktion lautet:

Option Value = e-rΔt [p * Option Value (Up) + (1 - p) * Option Value (Down)]

wobei:

  • r der risikoneutrale Zinssatz ist.
  • Δt die Länge eines Zeitschritts ist (Zeit bis Verfall / n).
  • p die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit eines Up-Moves ist.

Die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit 'p' kann berechnet werden als:

p = (erΔt - d) / (u - d)

Der Wert der Option zum Zeitpunkt 0 ist der Wert der Option am Wurzelknoten des Baums.

Beispiel: Bewertung einer Binären Call-Option

Nehmen wir an, wir möchten eine binäre Call-Option mit folgenden Parametern bewerten:

  • S = 100 (Aktueller Preis des Basiswerts)
  • K = 105 (Strike-Preis)
  • n = 3 (Anzahl der Zeitschritte)
  • r = 0.05 (Risikoneutraler Zinssatz)
  • σ = 0.2 (Volatilität)
  • Δt = 1/12 (Monatliche Zeitschritte)
  • Auszahlung = 10 (Fester Auszahlungsbetrag)

Zuerst berechnen wir 'u' und 'd':

u = eσ√Δt = e0.2 * √(1/12) ≈ 1.0161 d = 1/u = 1 / 1.0161 ≈ 0.9839

Dann berechnen wir 'p':

p = (e0.05 * (1/12) - 0.9839) / (1.0161 - 0.9839) ≈ 0.5176

Nun können wir den Binomialbaum konstruieren und die Option bewerten. Die Berechnung beginnt am Verfallstermin und arbeitet sich rückwärts bis zum Zeitpunkt 0.

(Eine detaillierte Berechnung mit dem Baum wird hier aus Platzgründen weggelassen, würde aber die Anwendung der oben genannten Formeln auf jeden Knoten zeigen.)

Der berechnete Wert der Option am Zeitpunkt 0 wäre der faire Preis für diese binäre Call-Option.

Vor- und Nachteile des Binomialbaums

Vorteile:

  • Flexibilität: Der Binomialbaum kann zur Bewertung verschiedener Arten von Optionen verwendet werden, einschließlich Amerikanischen Optionen, die zu jedem Zeitpunkt vor dem Verfall ausgeübt werden können.
  • Transparenz: Der Binomialbaum bietet eine klare und intuitive Darstellung der möglichen Preisentwicklungen des Basiswerts.
  • Einfache Implementierung: Der Algorithmus ist relativ einfach zu implementieren, insbesondere für kleinere Werte von 'n'.

Nachteile:

  • Rechenintensität: Für große Werte von 'n' kann die Berechnung des Binomialbaums sehr rechenintensiv werden.
  • Diskrete Modellierung: Der Binomialbaum modelliert die Preisentwicklung des Basiswerts diskret, was zu Ungenauigkeiten führen kann, insbesondere bei kurzen Zeiträumen.
  • Annahmen: Der Binomialbaum basiert auf bestimmten Annahmen, wie z.B. dem konstanten Aufwärts- und Abwärtsfaktor, die in der Realität möglicherweise nicht zutreffen.

Erweiterungen des Binomialbaums

Es gibt verschiedene Erweiterungen des Binomialbaums, die versuchen, seine Genauigkeit und Effizienz zu verbessern:

  • Cox-Ross-Rubinstein (CRR) Binomialbaum: Eine spezielle Form des Binomialbaums, die für die Bewertung von Optionen weit verbreitet ist.
  • Jarrow-Rudd Binomialbaum: Eine weitere Variante des Binomialbaums, die sich in der Art und Weise unterscheidet, wie die Up- und Down-Faktoren kalibriert werden.
  • Implizite Binomialbäume: Verwenden numerische Methoden, um die Up- und Down-Faktoren so zu bestimmen, dass sie den Marktpreis der Option widerspiegeln.

Verwandte Themen

Strategien, Technische Analyse und Volumenanalyse

Schlussfolgerung

Der Binomialbaum ist ein wichtiges Werkzeug für die Bewertung von Optionen. Obwohl er auf bestimmten Vereinfachungen beruht, bietet er eine flexible und intuitive Methode zur Modellierung der Preisentwicklung eines Basiswerts und zur Bestimmung des theoretischen Wertes von Optionen, einschließlich Binärer Optionen. Das Verständnis der Funktionsweise des Binomialbaums ist für jeden wichtig, der sich mit dem Handel von Optionen und der Finanzmathematik beschäftigt. ``` ```

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