ক্রুসকালের অ্যালগরিদম

ক্রুসকালের অ্যালগরিদম হল একটি লোভী অ্যালগরিদম যা একটি সংযুক্ত, ওজনযুক্ত গ্রাফ-এর ন্যূনতম স্প্যানিং ট্রি (Minimum Spanning Tree - MST) খুঁজে বের করতে ব্যবহৃত হয়। এটি গ্রাফের প্রান্তগুলোকে তাদের ওজনের ভিত্তিতে সাজায় এবং সর্বনিম্ন ওজনের প্রান্তগুলো নির্বাচন করে একটি ট্রি তৈরি করে, যেখানে কোনো চক্র (Cycle) থাকে না। এই অ্যালগরিদমটি কম্পিউটার বিজ্ঞান এবং গণিত-এর একটি গুরুত্বপূর্ণ অংশ, যা নেটওয়ার্ক ডিজাইন, পরিবহন পরিকল্পনা এবং অন্যান্য অপটিমাইজেশন সমস্যা সমাধানে ব্যবহৃত হয়।

ইতিহাস

ক্রুসকালের অ্যালগরিদম ১৯৫৬ সালে জোসেফ ক্রুসকাল দ্বারা প্রস্তাবিত হয়েছিল। এটি ন্যূনতম স্প্যানিং ট্রি খুঁজে বের করার জন্য প্রথম দিকের এবং বহুল ব্যবহৃত অ্যালগরিদমগুলির মধ্যে অন্যতম। এই অ্যালগরিদমের ধারণাটি প্রিম'স অ্যালগরিদম-এর মতোই, তবে ক্রুসকালের অ্যালগরিদম প্রান্ত-ভিত্তিক (Edge-based), যেখানে প্রিম'স অ্যালগরিদম শীর্ষবিন্দু-ভিত্তিক (Vertex-based)।

অ্যালগরিদমের ধাপসমূহ

ক্রুসকালের অ্যালগরিদম নিম্নলিখিত ধাপগুলো অনুসরণ করে:

১. গ্রাফের সমস্ত প্রান্তকে তাদের ওজনের ভিত্তিতে ছোট থেকে বড় ক্রমানুসারে সাজানো হয়। ২. একটি ফাঁকা সেট তৈরি করা হয়, যা ন্যূনতম স্প্যানিং ট্রি (MST) তৈরি করবে। ৩. সাজানো প্রান্তগুলোর তালিকা থেকে একটি একটি করে প্রান্ত নির্বাচন করা হয়। ৪. নির্বাচিত প্রান্তটি MST-তে যোগ করার আগে, এটি পরীক্ষা করা হয় যে এই প্রান্তটি যোগ করলে MST-তে কোনো চক্র তৈরি হবে কিনা। ৫. যদি প্রান্তটি যোগ করলে কোনো চক্র তৈরি না হয়, তবে প্রান্তটি MST-তে যোগ করা হয়। অন্যথায়, প্রান্তটি বাতিল করা হয়। ৬. যতক্ষণ না MST-তে (V-1) সংখ্যক প্রান্ত যোগ করা হয় (যেখানে V হল গ্রাফের শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা), ততক্ষণ পর্যন্ত এই প্রক্রিয়া চলতে থাকে।

উদাহরণ

ধরা যাক, একটি গ্রাফে পাঁচটি শীর্ষবিন্দু (A, B, C, D, E) এবং নিম্নলিখিত প্রান্তগুলো রয়েছে:

| প্রান্ত | শীর্ষবিন্দু ১ | শীর্ষবিন্দু ২ | ওজন | |---|---|---|---| | AB | A | B | 4 | | AC | A | C | 2 | | AD | A | D | 5 | | BC | B | C | 1 | | BD | B | D | 8 | | CD | C | D | 3 | | CE | C | E | 6 | | DE | D | E | 7 |

ক্রুসকালের অ্যালগরিদম ব্যবহার করে ন্যূনতম স্প্যানিং ট্রি তৈরি করার ধাপগুলো নিচে দেওয়া হলো:

১. প্রান্তগুলোকে ওজনের ভিত্তিতে সাজানো হলো:

  BC (1), AC (2), CD (3), AB (4), AD (5), CE (6), DE (7), BD (8)

২. MST শুরু করা হলো: {}

৩. BC প্রান্তটি যোগ করা হলো: {BC}

৪. AC প্রান্তটি যোগ করা হলো: {BC, AC}

৫. CD প্রান্তটি যোগ করা হলো: {BC, AC, CD}

৬. AB প্রান্তটি যোগ করা হলো: {BC, AC, CD, AB}

৭. AD প্রান্তটি যোগ করা হলো: {BC, AC, CD, AB, AD}

এখন MST-তে (5-1) = 4টি প্রান্ত রয়েছে, যা গ্রাফের সমস্ত শীর্ষবিন্দুকে সংযুক্ত করে এবং কোনো চক্র তৈরি করে না। সুতরাং, ন্যূনতম স্প্যানিং ট্রি হলো: {BC, AC, CD, AB, AD}। এই MST-এর মোট ওজন হলো: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15।

জটিলতা বিশ্লেষণ

ক্রুসকালের অ্যালগরিদমের জটিলতা মূলত দুটি অংশের উপর নির্ভর করে:

১. প্রান্তগুলোকে সাজানো: প্রান্তগুলোকে সাজানোর জন্য সাধারণত O(E log E) সময় লাগে, যেখানে E হল প্রান্তের সংখ্যা। ২. চক্র সনাক্তকরণ: চক্র সনাক্তকরণের জন্য ডিসজয়েন্ট সেট ডেটা স্ট্রাকচার (Disjoint-set data structure) ব্যবহার করা হয়, যার সময় জটিলতা প্রায় O(E α(V)), যেখানে V হল শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা এবং α(V) হল বিপরীত অ্যাকкерম্যান ফাংশন (Inverse Ackermann function), যা খুবই ধীরে ধীরে বাড়ে এবং প্রায় ধ্রুবক হিসেবে ধরা হয়।

সুতরাং, ক্রুসকালের অ্যালগরিদমের মোট সময় জটিলতা হলো O(E log E)। যদি প্রান্তগুলোকে আগে থেকেই সাজানো থাকে, তবে জটিলতা কমে O(E α(V)) হয়ে যায়।

ডিসজয়েন্ট সেট ডেটা স্ট্রাকচার

ডিসজয়েন্ট সেট ডেটা স্ট্রাকচার ক্রুসকালের অ্যালগরিদমের একটি গুরুত্বপূর্ণ অংশ। এটি মূলত দুটি অপারেশন সমর্থন করে:

Find(x): একটি নির্দিষ্ট শীর্ষবিন্দু x যে সেটের অন্তর্ভুক্ত, সেটি খুঁজে বের করে।
Union(x, y): দুটি শীর্ষবিন্দু x এবং y যে সেটের অন্তর্ভুক্ত, সে দুটি সেটকে একত্রিত করে।

এই ডেটা স্ট্রাকচারটি চক্র সনাক্তকরণে সাহায্য করে। যখন কোনো প্রান্ত যোগ করার আগে, অ্যালগরিদমটি Find() অপারেশন ব্যবহার করে দেখে যে প্রান্তের দুটি শীর্ষবিন্দু একই সেটের অন্তর্ভুক্ত কিনা। যদি তারা একই সেটের অন্তর্ভুক্ত হয়, তবে প্রান্তটি যোগ করলে একটি চক্র তৈরি হবে।

প্রয়োগক্ষেত্র

ক্রুসকালের অ্যালগরিদমের বিভিন্ন ক্ষেত্রে প্রয়োগ রয়েছে। নিচে কয়েকটি উল্লেখ করা হলো:

নেটওয়ার্ক ডিজাইন: ন্যূনতম খরচে নেটওয়ার্ক তৈরি করার জন্য এই অ্যালগরিদম ব্যবহার করা হয়। নেটওয়ার্ক ডিজাইন করার সময়, ক্রুসকালের অ্যালগরিদম ব্যবহার করে সবচেয়ে সাশ্রয়ী সংযোগ স্থাপন করা যায়।
পরিবহন পরিকল্পনা: রাস্তাঘাট এবং পরিবহন নেটওয়ার্কের পরিকল্পনায় এই অ্যালগরিদম ব্যবহার করা হয়।
কমিউনিকেশন নেটওয়ার্ক: টেলিফোন লাইন এবং ইন্টারনেট সংযোগ স্থাপনের জন্য এটি ব্যবহার করা হয়।
ক্লাস্টারিং: ডেটা ক্লাস্টারিংয়ের ক্ষেত্রেও এই অ্যালগরিদম ব্যবহার করা যেতে পারে।
ইমেজ প্রসেসিং: ইমেজ প্রসেসিং-এর বিভিন্ন ক্ষেত্রে এই অ্যালগরিদম ব্যবহার করা হয়।

ক্রুসকালের অ্যালগরিদমের সুবিধা ও অসুবিধা

ক্রুসকালের অ্যালগরিদমের কিছু সুবিধা এবং অসুবিধা রয়েছে:

সুবিধা:

   *   বাস্তবায়ন করা সহজ।
   *   বিভিন্ন ধরনের গ্রাফের জন্য প্রযোজ্য।
   *   সময় জটিলতা তুলনামূলকভাবে কম।

অসুবিধা:

   *   প্রান্তগুলোকে সাজানোর জন্য অতিরিক্ত মেমরির প্রয়োজন হয়।
   *   প্রিম'স অ্যালগরিদমের তুলনায় কিছু ক্ষেত্রে ধীরগতির হতে পারে।

অন্যান্য ন্যূনতম স্প্যানিং ট্রি অ্যালগরিদম

ক্রুসকালের অ্যালগরিদম ছাড়াও, ন্যূনতম স্প্যানিং ট্রি খুঁজে বের করার জন্য আরও কিছু অ্যালগরিদম রয়েছে:

প্রিম'স অ্যালগরিদম: এটি একটি শীর্ষবিন্দু-ভিত্তিক অ্যালগরিদম, যা একটি নির্দিষ্ট শীর্ষবিন্দু থেকে শুরু করে ধীরে ধীরে MST তৈরি করে।
বোরুভকা'স অ্যালগরিদম: এটি একটি জটিল অ্যালগরিদম, যা গ্রাফের প্রতিটি শীর্ষবিন্দু থেকে শুরু করে MST তৈরি করে।

বাইনারি অপশন ট্রেডিংয়ের সাথে সম্পর্ক

যদিও ক্রুসকালের অ্যালগরিদম সরাসরি বাইনারি অপশন ট্রেডিং এর সাথে সম্পর্কিত নয়, তবে এর ধারণাগুলি ঝুঁকি ব্যবস্থাপনার ক্ষেত্রে ব্যবহার করা যেতে পারে। একটি ট্রেডিং পোর্টফোলিওকে অপটিমাইজ করার জন্য, বিভিন্ন অ্যাসেটের মধ্যে সম্পর্ক বিশ্লেষণ করে ন্যূনতম ঝুঁকির সাথে সর্বোচ্চ রিটার্ন পাওয়ার চেষ্টা করা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে, ক্রুসকালের অ্যালগরিদমের মতো গ্রাফ-ভিত্তিক অ্যালগরিদম ব্যবহার করে পোর্টফোলিও অপটিমাইজেশন করা যেতে পারে। এছাড়াও, টেকনিক্যাল অ্যানালাইসিস এবং ভলিউম অ্যানালাইসিস এর মাধ্যমে প্রাপ্ত ডেটা বিশ্লেষণ করে ট্রেডিং সিদ্ধান্ত নিতে এই ধরনের অ্যালগরিদম সাহায্য করতে পারে।

আরও জানতে

এখনই ট্রেডিং শুরু করুন

IQ Option-এ নিবন্ধন করুন (সর্বনিম্ন ডিপোজিট $10) Pocket Option-এ অ্যাকাউন্ট খুলুন (সর্বনিম্ন ডিপোজিট $5)

আমাদের সম্প্রদায়ে যোগ দিন

আমাদের টেলিগ্রাম চ্যানেলে যোগ দিন @strategybin এবং পান: ✓ দৈনিক ট্রেডিং সংকেত ✓ একচেটিয়া কৌশলগত বিশ্লেষণ ✓ বাজারের প্রবণতা সম্পর্কে বিজ্ঞপ্তি ✓ নতুনদের জন্য শিক্ষামূলক উপকরণ