অয়লারের টোটেন্ট ফাংশন
অয়লারের টোটেন্ট ফাংশন
ভূমিকা
অয়লারের টোটেন্ট ফাংশন, যাকে প্রায়শই φ(n) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, সংখ্যাতত্ত্বের একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা। এটি একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n এর থেকে ছোট বা সমান কতগুলি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n এর সাথে সহমৌলিক (relatively prime) তা গণনা করে। অন্যভাবে বললে, φ(n) হলো সেই সংখ্যা যা n এর থেকে ছোট এবং n এর সাথে ১ ব্যতীত অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। এই ফাংশনটি সংখ্যাতত্ত্ব এবং ক্রিপ্টোগ্রাফি উভয় ক্ষেত্রেই ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। বাইনারি অপশন ট্রেডিংয়ের প্রেক্ষাপটে এর সরাসরি প্রয়োগ না থাকলেও, গাণিতিক মডেলিং এবং অ্যালগরিদম তৈরিতে এর ধারণা কাজে লাগতে পারে।
সংজ্ঞা
যদি n একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে অয়লারের টোটেন্ট ফাংশন φ(n) হলো সেই সংখ্যা যা ১ থেকে n পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে n এর সাথে সহমৌলিক। গাণিতিকভাবে,
φ(n) = |{a : 1 ≤ a ≤ n এবং gcd(a, n) = 1}|
এখানে gcd(a, n) হলো a এবং n এর সর্বোচ্চ সাধারণ গুণনীয়ক (greatest common divisor)।
উদাহরণ
- φ(1) = 1, কারণ ১ এর সাথে শুধুমাত্র ১ সংখ্যাটিই সহমৌলিক।
- φ(2) = 1, কারণ ১ এবং ২ এর মধ্যে শুধুমাত্র ১ সংখ্যাটি ২ এর সাথে সহমৌলিক।
- φ(3) = 2, কারণ ১ এবং ২ সংখ্যা দুটি ৩ এর সাথে সহমৌলিক।
- φ(4) = 2, কারণ ১ এবং ৩ সংখ্যা দুটি ৪ এর সাথে সহমৌলিক।
- φ(5) = 4, কারণ ১, ২, ৩ এবং ৪ সংখ্যা চারটি ৫ এর সাথে সহমৌলিক।
- φ(6) = 2, কারণ ১ এবং ৫ সংখ্যা দুটি ৬ এর সাথে সহমৌলিক।
ফাংশনের বৈশিষ্ট্য
অয়লারের টোটেন্ট ফাংশনের কিছু গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য রয়েছে:
১. যদি p একটি অριθμός হয়, তবে φ(p) = p-1। অর্থাৎ, একটি মৌলিক সংখ্যার টোটেন্ট ফাংশন হলো সেই সংখ্যা থেকে ১ কম।
২. যদি p একটি মৌলিক সংখ্যা হয় এবং k একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে φ(p^k) = p^k - p^(k-1)।
৩. যদি m এবং n সহমৌলিক হয়, তবে φ(mn) = φ(m)φ(n)।
৪. φ(n) এর মান সর্বদা জোড় সংখ্যা হয়, যদি n > 2 হয়।
গণনা করার পদ্ধতি
অয়লারের টোটেন্ট ফাংশন গণনা করার জন্য বিভিন্ন পদ্ধতি রয়েছে।
১. মৌলিক উৎপাদকের মাধ্যমে গণনা:
যদি n = p1^k1 * p2^k2 * ... * pr^kr হয়, যেখানে p1, p2, ..., pr হলো n এর মৌলিক উৎপাদক, তবে
φ(n) = n * (1 - 1/p1) * (1 - 1/p2) * ... * (1 - 1/pr)
উদাহরণস্বরূপ, যদি n = 12 হয়, তবে এর মৌলিক উৎপাদক হলো 2^2 * 3^1। সুতরাং,
φ(12) = 12 * (1 - 1/2) * (1 - 1/3) = 12 * (1/2) * (2/3) = 4
২. পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি:
এই পদ্ধতিতে, আমরা একটি সংখ্যাকে তার মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি এবং তারপর উপরের সূত্রটি ব্যবহার করে টোটেন্ট ফাংশন গণনা করি।
ব্যবহারিক প্রয়োগ
অয়লারের টোটেন্ট ফাংশনের বিভিন্ন ব্যবহারিক প্রয়োগ রয়েছে:
১. ক্রিপ্টোগ্রাফি: RSA অ্যালগরিদমের মতো আধুনিক ক্রিপ্টোগ্রাফিক সিস্টেমে এই ফাংশনটি ব্যবহৃত হয়। RSA অ্যালগরিদমের নিরাপত্তা মূলত টোটেন্ট ফাংশনের উপর নির্ভরশীল।
২. কম্পিউটার বিজ্ঞান: টোটেন্ট ফাংশন কম্পিউটার বিজ্ঞানের বিভিন্ন অ্যালগরিদমে ব্যবহৃত হয়, যেমন হ্যাশিং এবং র্যান্ডম সংখ্যা তৈরি করা।
৩. সংখ্যাতত্ত্ব: এটি সংখ্যাতত্ত্বের বিভিন্ন সমস্যা সমাধানে ব্যবহৃত হয়, যেমন মডুলার পাটিগণিত এবং ক্রিপ্টোঅ্যারিথমেটিক।
বাইনারি অপশন ট্রেডিংয়ে প্রাসঙ্গিকতা
যদিও অয়লারের টোটেন্ট ফাংশন সরাসরি বাইনারি অপশন ট্রেডিংয়ের সাথে সম্পর্কিত নয়, তবে এর কিছু ধারণা ঝুঁকি ব্যবস্থাপনা এবং অ্যালগরিদমিক ট্রেডিং কৌশল তৈরিতে কাজে লাগতে পারে।
১. অ্যালগরিদমিক ট্রেডিং: জটিল গাণিতিক মডেল এবং অ্যালগরিদম তৈরিতে টোটেন্ট ফাংশনের ধারণা ব্যবহার করা যেতে পারে, যা স্বয়ংক্রিয়ভাবে ট্রেডিং সিদ্ধান্ত নিতে সাহায্য করে।
২. ঝুঁকি মূল্যায়ন: সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা এবং তাদের সম্ভাবনা বিশ্লেষণ করতে এই ফাংশন ব্যবহার করা যেতে পারে, যা ঝুঁকি মূল্যায়নে সহায়ক হতে পারে।
৩. ভলিউম বিশ্লেষণ: বাজারের ভলিউম এবং মূল্যের গতিবিধি বিশ্লেষণ করার জন্য গাণিতিক মডেল তৈরি করতে টোটেন্ট ফাংশনের ধারণা ব্যবহার করা যেতে পারে।
৪. টেকনিক্যাল বিশ্লেষণ: বিভিন্ন চার্ট প্যাটার্ন এবং নির্দেশক (indicators) তৈরি করার জন্য এই ফাংশনের ধারণা কাজে লাগানো যেতে পারে।
অয়লারের টোটেন্ট ফাংশন এবং RSA ক্রিপ্টোগ্রাফি
RSA (Rivest–Shamir–Adleman) হলো একটি বহুল ব্যবহৃত পাবলিক-কী ক্রিপ্টোগ্রাফি অ্যালগরিদম। এর নিরাপত্তা অয়লারের টোটেন্ট ফাংশনের উপর ভিত্তি করে তৈরি হয়েছে। RSA অ্যালগরিদমের মূল ধারণা হলো দুটি বড় মৌলিক সংখ্যা p এবং q নির্বাচন করা এবং তারপর n = p*q গণনা করা। এরপর, অয়লারের টোটেন্ট ফাংশন φ(n) = (p-1)(q-1) গণনা করা হয়। একটি এনক্রিপশন কী (e) নির্বাচন করা হয় যা φ(n) এর সাথে সহমৌলিক। অবশেষে, একটি ডিক্রিপশন কী (d) গণনা করা হয় যা e এর মডুলার বিপরীত (modular inverse) এবং φ(n) এর সাপেক্ষে।
যদি কোনো বার্তা m এনক্রিপ্ট করা হয়, তবে এনক্রিপ্টেড বার্তা c হবে:
c = m^e mod n
ডিক্রিপ্ট করার জন্য, আমরা নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করি:
m = c^d mod n
RSA অ্যালগরিদমের নিরাপত্তা এই সত্যের উপর নির্ভর করে যে n এর মৌলিক উৎপাদক p এবং q জানা কঠিন। যদি কেউ p এবং q জানতে পারে, তবে তারা φ(n) গণনা করতে পারবে এবং ডিক্রিপশন কী d বের করতে পারবে।
অয়লারের টোটেন্ট ফাংশনের আরও কিছু প্রয়োগ
১. মডুলার পাটিগণিত: অয়লারের টোটেন্ট ফাংশন মডুলার পাটিগণিতের বিভিন্ন সমস্যা সমাধানে ব্যবহৃত হয়।
২. ফার্ম্যাটের ছোট উপপাদ্য: ফার্ম্যাটের ছোট উপপাদ্য অনুসারে, যদি p একটি মৌলিক সংখ্যা হয় এবং a একটি পূর্ণসংখ্যা যা p দ্বারা বিভাজ্য নয়, তবে a^(p-1) ≡ 1 (mod p)। এই উপপাদ্যটি অয়লারের টোটেন্ট ফাংশনের একটি বিশেষ ক্ষেত্র।
৩. চীনা অবশেষ উপপাদ্য: চীনা অবশেষ উপপাদ্য (Chinese Remainder Theorem) সমাধানে টোটেন্ট ফাংশন ব্যবহৃত হয়।
৪. চক্রীয় গ্রুপ: টোটেন্ট ফাংশন চক্রীয় গ্রুপ (cyclic group) এর অর্ডার নির্ধারণ করতে সহায়ক।
টেবিল: প্রথম কয়েকটি সংখ্যার জন্য অয়লারের টোটেন্ট ফাংশনের মান
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
উপসংহার
অয়লারের টোটেন্ট ফাংশন সংখ্যাতত্ত্বের একটি মৌলিক ধারণা, যার ক্রিপ্টোগ্রাফি, কম্পিউটার বিজ্ঞান এবং অন্যান্য গাণিতিক ক্ষেত্রে বিস্তৃত প্রয়োগ রয়েছে। বাইনারি অপশন ট্রেডিংয়ের ক্ষেত্রে এর সরাসরি ব্যবহার সীমিত হলেও, অ্যালগরিদমিক ট্রেডিং এবং ঝুঁকি ব্যবস্থাপনার কৌশল তৈরিতে এর ধারণা কাজে লাগতে পারে। এই ফাংশনটি বোঝা আধুনিক প্রযুক্তি এবং গাণিতিক মডেলিংয়ের জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।
আরও জানতে:
- মৌলিক সংখ্যা
- মডুলার পাটিগণিত
- RSA অ্যালগরিদম
- ক্রিপ্টোগ্রাফি
- সর্বোচ্চ সাধারণ গুণনীয়ক
- ফার্ম্যাটের ছোট উপপাদ্য
- চীনা অবশেষ উপপাদ্য
- চক্রীয় গ্রুপ
- [ঝুঁকি ব্যবস্থাপনা](https://www.investopedia.com/terms/r/riskmanagement.asp)
- [অ্যালগরিদমিক ট্রেডিং](https://www.investopedia.com/terms/a/algorithmic-trading.asp)
- [ভলিউম বিশ্লেষণ](https://www.investopedia.com/terms/v/volume.asp)
- [টেকনিক্যাল বিশ্লেষণ](https://www.investopedia.com/terms/t/technicalanalysis.asp)
- [চার্ট প্যাটার্ন](https://www.investopedia.com/terms/c/chartpattern.asp)
- [নির্দেশক (Indicators)](https://www.investopedia.com/terms/i/indicators.asp)
- [হ্যাশিং](https://en.wikipedia.org/wiki/Hash_function)
- [র্যান্ডম সংখ্যা](https://en.wikipedia.org/wiki/Random_number_generation)
- [পাবলিক-কী ক্রিপ্টোগ্রাফি](https://en.wikipedia.org/wiki/Public-key_cryptography)
- [মডুলার বিপরীত](https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_multiplicative_inverse) (Category:Number theory)
এখনই ট্রেডিং শুরু করুন
IQ Option-এ নিবন্ধন করুন (সর্বনিম্ন ডিপোজিট $10) Pocket Option-এ অ্যাকাউন্ট খুলুন (সর্বনিম্ন ডিপোজিট $5)
আমাদের সম্প্রদায়ে যোগ দিন
আমাদের টেলিগ্রাম চ্যানেলে যোগ দিন @strategybin এবং পান: ✓ দৈনিক ট্রেডিং সংকেত ✓ একচেটিয়া কৌশলগত বিশ্লেষণ ✓ বাজারের প্রবণতা সম্পর্কে বিজ্ঞপ্তি ✓ নতুনদের জন্য শিক্ষামূলক উপকরণ
