伽罗瓦理论

1. 伽罗瓦 理论

1. 1. 导言

伽罗瓦理论是抽象代数中一个深刻且强大的分支，它将多项式方程的根与这些方程的对称群联系起来。最初由法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦在19世纪30年代发展起来，它解决了一个长期存在的数学问题：是否存在通用的公式来求解任意五次方程或更高次方程？伽罗瓦证明了不存在这样的公式，并提供了一种确定特定方程是否可解的方法。虽然最初的应用是关于方程的可解性，但伽罗瓦理论的影响远远超出了这个领域，它在群论、数论以及其他数学分支中都有着广泛的应用。对于二元期权交易者而言，理解伽罗瓦理论本身可能不直接相关，但其背后的逻辑思维和对复杂系统的分析方法，可以帮助我们更好地理解市场波动性、风险管理和策略构建。

1. 1. 预备知识

在深入伽罗瓦理论之前，我们需要掌握一些基本的数学概念：

• **多项式:** 一个关于变量的表达式，包含常数、变量和非负整数指数的乘积。例如，`x^2 + 2x + 1` 是一个多项式。 多项式函数
• **多项式方程:** 将多项式设置为等于零的方程。例如，`x^2 + 2x + 1 = 0` 是一个多项式方程。 方程
• **根 (或解):** 多项式方程的根是使方程成立的变量的值。
• **域:** 一个集合，其中定义了加法、减法、乘法和除法，并且这些运算满足一定的公理。例如，实数域和复数域。
• **域扩展:** 一个域的扩展是包含原始域的一个更大的域。例如，复数域是实数域的扩展。 域论
• **群:** 一个集合，连同一个满足特定公理的二元运算。例如，整数的加法群。 群
• **对称群:** 一个关于集合元素的排列的群。例如，`S_3` 是一个包含三个元素的集合的所有排列的群。 置换群
• **子群:** 一个群的子集，它本身也构成一个群。 子群
• **伽罗瓦群:** 一个域扩展的自同构群。

1. 1. 伽罗瓦扩展

伽罗瓦理论的核心概念是伽罗瓦扩展。一个域扩展 `K/F` 被称为伽罗瓦扩展，如果它满足以下条件：

1. `K/F` 是可分扩展：这意味着 `K` 中的每个元素都是 `F` 上的一个多项式的根，并且这个多项式具有可分导数。 2. `K/F` 是正规扩展：这意味着 `K` 是 `F` 上一个多项式的所有根的包含域。

换句话说，一个伽罗瓦扩展是一个“良好的”域扩展，它具有良好的结构和性质，使得我们可以应用伽罗瓦理论的工具来研究它。

1. 1. 伽罗瓦群

与一个伽罗瓦扩展 `K/F` 关联的是一个伽罗瓦群 `Gal(K/F)`，它是 `K` 的所有自同构的群，这些自同构将 `F` 中的元素固定。自同构是一个保持域运算的映射，即它将加法和乘法运算保持不变。

伽罗瓦群 `Gal(K/F)` 的阶等于 `[K:F]`，即 `K` 相对于 `F` 的次数。这是一个重要的结果，它将代数性质（域扩展的次数）与群论性质（伽罗瓦群的阶）联系起来。

1. 1. 伽罗瓦对应

伽罗瓦理论最核心的结果是伽罗瓦对应。这个对应建立了 `K/F` 的子域和 `Gal(K/F)` 的子群之间的联系。

具体来说，伽罗瓦对应表明：

• `K` 的每个子域 `E` 对应于 `Gal(K/F)` 的一个子群 `H`。
• `Gal(K/F)` 的每个子群 `H` 对应于 `K` 的一个子域 `E`。

这个对应是双向的，并且保持了包含关系。也就是说，如果 `E_1` 包含 `E_2`，那么对应的子群 `H_1` 包含 `H_2`。

伽罗瓦对应是一个强大的工具，它可以帮助我们理解域扩展的结构和性质。通过研究伽罗瓦群的子群，我们可以了解与 `K` 中的不同子域相关的性质。

1. 1. 方程的可解性

伽罗瓦理论最初的应用是解决方程的可解性问题。一个多项式方程是可解的，如果在有限域扩展中，它的根可以表示为域中元素的算术运算（加法、减法、乘法、除法）和根式的组合。

伽罗瓦证明了，一个多项式方程是可解的，当且仅当它的伽罗瓦群是可解群。可解群是指可以分解成一系列交换群的群。

这意味着，对于五次或更高次的多项式方程，如果其伽罗瓦群不是可解群，那么它就不能用根式来求解。由于大多数五次或更高次的多项式方程的伽罗瓦群都不是可解群，因此不存在通用的公式来求解它们。

1. 1. 举例：二次方程

考虑二次方程 `x^2 + bx + c = 0`，其中 `b` 和 `c` 是实数。这个方程的根可以用二次公式求解：

`x = (-b ± √(b^2 - 4c)) / 2`

这个公式涉及到实数的算术运算和平方根运算。

二次方程的伽罗瓦群是 `Gal(K/F)`，其中 `K` 是包含方程根的域，`F` 是实数域。如果 `b^2 - 4c > 0`，那么 `K = F`，伽罗瓦群是平凡群，即只包含恒等映射。如果 `b^2 - 4c < 0`，那么 `K = F(i)`，其中 `i` 是虚数单位，伽罗瓦群是 `Z_2`，一个包含两个元素的循环群。

在两种情况下，伽罗瓦群都是可解群，因此二次方程是可解的。

1. 1. 伽罗瓦理论的应用

虽然伽罗瓦理论最初的应用是关于方程的可解性，但它的应用范围远远超出了这个领域：

• **数论:** 伽罗瓦理论可以用来研究数域的性质，例如类数和单位根。
• **代数几何:** 伽罗瓦理论在研究代数曲线和代数曲面的性质方面发挥着重要作用。
• **编码理论:** 伽罗瓦理论可以用来设计和分析纠错码。
• **密码学:** 伽罗瓦理论可以用来设计和分析密码系统。

1. 1. 伽罗瓦理论与二元期权交易

虽然伽罗瓦理论本身不直接应用于二元期权交易，但其背后的思维方式和对复杂系统的分析能力，对于交易者而言具有重要的价值。

• **识别潜在风险:** 伽罗瓦理论强调了理解系统结构的重要性。在二元期权交易中，这意味着需要深入了解影响价格波动的各种因素，包括经济数据、政治事件、市场情绪等。基本面分析
• **风险管理:** 伽罗瓦理论中的群论概念可以帮助交易者理解不同风险因素之间的相互作用。通过识别这些相互作用，交易者可以更好地评估和管理风险。风险回报比
• **策略构建:** 伽罗瓦理论强调了寻找规律和模式的重要性。在二元期权交易中，这意味着需要研究历史数据，寻找可以利用的趋势和模式。 技术分析
• **复杂系统分析:** 伽罗瓦理论是研究复杂系统的工具。二元期权市场是一个高度复杂的系统，受到多种因素的影响。运用伽罗瓦理论的思维方式，可以帮助交易者更好地理解市场动态。 成交量分析， 支撑阻力位， 移动平均线， 布林带， 相对强弱指数， MACD， RSI， 随机指标， K线图， 波浪理论， 斐波那契数列， 枢轴点， 日内交易策略， 趋势跟踪策略， 突破策略， 期权定价模型， 希腊字母， Delta中性策略， Straddle策略， Strangle策略， 蝶式策略

1. 1. 总结

伽罗瓦理论是代数学中一个深刻而强大的分支，它将多项式方程的根与这些方程的对称群联系起来。通过研究伽罗瓦群和伽罗瓦对应，我们可以了解域扩展的结构和性质，并解决方程的可解性问题。虽然伽罗瓦理论本身不直接应用于二元期权交易，但其背后的逻辑思维和对复杂系统的分析方法，可以帮助交易者更好地理解市场波动性、风险管理和策略构建。

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