合作博弈

概述

合作博弈（Cooperative Game Theory）是博弈论的一个重要分支，它研究的是多个参与者为了实现共同目标而进行合作时的策略选择和结果分析。与非合作博弈（Non-Cooperative Game Theory）关注个体理性行为不同，合作博弈更侧重于群体行为以及如何将个体利益协调为集体利益。其核心在于，参与者可以达成具有约束力的协议，共同制定策略，并分配合作收益。合作博弈的起源可以追溯到约翰·冯·诺依曼和奥斯卡·摩根斯特恩于1944年出版的《博弈论与经济行为》。博弈论最初的设想是，通过合作可以克服非合作博弈中可能出现的低效或次优结果。

合作博弈主要研究的是“联盟”（Coalition）的形成和价值分配问题。联盟是指参与者自愿组合在一起，共同采取行动以获取利益的群体。每个联盟都有一个“特征函数”（Characteristic Function），它定义了该联盟能够获得的收益。合作博弈的目标是找到一个稳定的、公平的收益分配方案，使得所有参与者都愿意加入合作，并维持合作关系。合作博弈在经济学、政治学、计算机科学等领域都有广泛的应用，例如资源分配、谈判策略、联盟形成、以及多智能体系统的设计等。经济学、政治学、计算机科学。

主要特点

合作博弈区别于非合作博弈的主要特点包括：

• *联盟形成：* 参与者可以自由选择加入或退出联盟，联盟的形成是博弈过程中的一个重要组成部分。
• *具有约束力的协议：* 参与者之间可以达成具有法律效力或道德约束力的协议，确保合作的顺利进行。
• *侧重集体理性：* 合作博弈更关注整体利益最大化，而非仅仅关注个体利益。
• *特征函数：* 使用特征函数来描述每个联盟的收益，为收益分配提供依据。
• *可转移效用：* 合作博弈通常假设效用是可转移的，即参与者可以将收益分配给其他参与者。
• *合作的稳定性：* 研究如何设计收益分配方案，以确保合作的稳定性，避免出现背叛行为。
• *关注公平性：* 合作博弈经常考虑收益分配的公平性问题，例如按照贡献分配、平均分配等。
• *联盟的层次结构：* 联盟可以嵌套形成层次结构，例如小联盟可以合并成大联盟。
• *信息共享：* 参与者之间通常会共享信息，以便更好地协调行动。
• *动态博弈：* 合作博弈可以是静态的，也可以是动态的，即联盟的形成和收益分配会随着时间而变化。动态博弈

使用方法

合作博弈的使用方法主要包括以下几个步骤：

1. **确定参与者：** 首先需要明确博弈的参与者，以及每个参与者的目标和约束条件。 2. **定义联盟：** 列出所有可能的联盟，包括单个参与者、两个参与者的联盟、三个参与者的联盟，以此类推，直到所有参与者组成的联盟。 3. **确定特征函数：** 对于每个联盟，确定其能够获得的收益，即特征函数的值。特征函数的值可以是金钱、资源、效用或其他任何可以量化的指标。 4. **寻找核心解：** 核心解（Core Solution）是合作博弈中最重要的一种解概念。核心解是指一种收益分配方案，使得没有哪个联盟可以通过单独行动获得更高的收益。也就是说，核心解保证了合作的稳定性。寻找核心解通常需要解决一个线性规划问题。线性规划 5. **寻找Shapley值：** Shapley值（Shapley Value）是另一种重要的解概念。Shapley值是指每个参与者对联盟的贡献程度，它基于所有可能的联盟形成顺序进行平均计算。Shapley值保证了公平性，因为每个参与者都按照其平均贡献获得收益。 6. **寻找核解：** 核解（Kernel Solution）是核心解的推广，它允许一些联盟获得稍微更高的收益，但必须满足一定的约束条件。 7. **评估收益分配方案：** 评估不同的收益分配方案，选择最符合参与者目标和约束条件的方案。评估标准可以包括收益最大化、公平性、稳定性等。 8. **实施和监控：** 实施收益分配方案，并对合作过程进行监控，确保合作的顺利进行。

以下是一个简单的合作博弈的例子，并用表格展示特征函数：

参与者联盟的特征函数

收益
20
30
40
70
80
90
120

在这个例子中，A、B、C三个参与者可以组成不同的联盟，每个联盟都有一个对应的收益。目标是找到一个收益分配方案，使得所有参与者都愿意加入合作，并且没有哪个联盟可以通过单独行动获得更高的收益。

相关策略

合作博弈中的策略选择取决于博弈的具体情况和参与者的目标。以下是一些常见的策略：

• **讨价还价：** 参与者之间进行谈判，试图获得更大的收益份额。谈判
• **威胁：** 参与者发出威胁，例如退出联盟，以迫使其他参与者做出让步。
• **承诺：** 参与者做出承诺，例如提供资源或支持，以吸引其他参与者加入合作。
• **信息操纵：** 参与者故意提供虚假或误导性的信息，以影响其他参与者的决策。
• **联盟构建：** 参与者积极寻求与其他参与者建立联盟，以增强自身的实力。
• **先发制人：** 参与者率先采取行动，例如提出合作方案，以占据主动地位。
• **跟随策略：** 参与者跟随其他参与者的行动，避免冲突。
• **合作与背叛：** 参与者需要在合作与背叛之间做出选择，取决于收益分配的公平性和自身的利益。
• **稳定联盟：** 努力维护现有联盟的稳定，避免出现分裂或背叛行为。
• **动态联盟：** 根据情况的变化，调整联盟的组成和策略。

与其他策略的比较：

• **与非合作博弈相比：** 合作博弈更注重群体利益和长期合作关系，而非仅仅关注个体利益和短期收益。非合作博弈通常假设参与者之间没有信任，而合作博弈则假设参与者之间可以达成具有约束力的协议。
• **与协调博弈相比：** 协调博弈关注的是如何协调参与者的行动，以实现共同目标。合作博弈则更关注的是如何分配合作收益，以确保合作的稳定性。协调博弈
• **与重复博弈相比：** 重复博弈关注的是在重复发生的博弈中，参与者如何学习和适应。合作博弈则更关注的是一次性的合作博弈，以及如何找到一个稳定的收益分配方案。重复博弈
• **与演化博弈相比：** 演化博弈关注的是在自然选择的作用下，策略如何演化。合作博弈则更关注的是理性参与者的策略选择。演化博弈
• **与Stackelberg博弈相比：** Stackelberg博弈关注的是领导者和跟随者之间的博弈关系。合作博弈则更关注的是参与者之间的平等合作。Stackelberg博弈
• **与纳什均衡相比：** 纳什均衡是描述非合作博弈中稳定状态的概念。合作博弈则使用核心解、Shapley值等概念来描述合作的稳定状态。纳什均衡
• **与帕累托最优相比：** 帕累托最优是指一种状态，在这种状态下，不可能在不损害任何其他参与者利益的情况下，使任何一个参与者的利益得到提高。合作博弈的目标是找到一个帕累托最优的收益分配方案。帕累托最优
• **与囚徒困境相比：** 囚徒困境是描述非合作博弈中个体理性行为导致集体次优结果的经典例子。合作博弈则试图通过合作来克服囚徒困境。囚徒困境
• **与零和博弈相比：** 零和博弈是指参与者之间的收益总和为零。合作博弈通常是非零和博弈，即参与者可以通过合作获得更高的收益。零和博弈
• **与常和博弈相比：** 常和博弈是指参与者之间的收益总和为常数。合作博弈可以应用于常和博弈，但更关注的是如何分配收益。常和博弈
• **与贝叶斯博弈相比：** 贝叶斯博弈是指参与者具有不完全信息的情况。合作博弈也可以应用于贝叶斯博弈，但需要考虑信息不对称对合作的影响。贝叶斯博弈
• **与完全信息博弈相比：** 完全信息博弈是指所有参与者都知道其他参与者的策略和收益。合作博弈可以应用于完全信息博弈，但更关注的是如何分配收益。完全信息博弈
• **与不完全信息博弈相比：** 不完全信息博弈是指参与者具有不完全信息的情况。合作博弈也可以应用于不完全信息博弈，但需要考虑信息不对称对合作的影响。不完全信息博弈
• **与动态规划相比：** 动态规划是一种解决复杂问题的优化方法。合作博弈可以使用动态规划来寻找最优的收益分配方案。动态规划
• **与蒙特卡洛方法相比：** 蒙特卡洛方法是一种通过随机抽样来解决问题的计算方法。合作博弈可以使用蒙特卡洛方法来估计Shapley值。蒙特卡洛方法

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