Model Coxa-Rossa-Rubinsteina

Ilustracja drzewa binominalnego w modelu Coxa-Rossa-Rubinsteina

Ilustracja drzewa binominalnego w modelu Coxa-Rossa-Rubinsteina

Model Coxa-Rossa-Rubinsteina, znany również jako model drzewa binominalnego, jest fundamentalnym narzędziem w wycenie opcji i innych instrumentów pochodnych. Został opracowany przez Rolfa Coxa, Marka Rossa i Jerry'ego Rubinstena w latach 70. XX wieku. Choć pierwotnie stworzony do wyceny opcji amerykańskich, znajduje szerokie zastosowanie również w wycenie opcji europejskich i innych instrumentów finansowych. Artykuł ten ma na celu przedstawienie szczegółowego omówienia tego modelu, skierowanego do początkujących inwestorów i studentów finansów.

Podstawy Modelu Drzewa Binominalnego

Model drzewa binominalnego opiera się na założeniu, że cena aktywa bazowego (np. akcji) w ciągu określonego czasu może poruszać się tylko w dwóch kierunkach: w górę lub w dół. Model ten tworzy reprezentację graficzną możliwych ścieżek cen aktywa bazowego w czasie, tworząc tzw. drzewo binominalne. Każdy węzeł w drzewie reprezentuje potencjalną cenę aktywa w danym momencie czasu.

• Okresy (Time Steps): Czas do wygaśnięcia opcji dzielony jest na serię dyskretnych okresów. Im więcej okresów, tym dokładniejsza jest wycena, ale również bardziej złożona.
• Ruchy Cen (Price Movements): W każdym okresie cena może wzrosnąć o współczynnik wzrostu (u) lub spaść o współczynnik spadku (d).
• Prawdopodobieństwo (Probability): Model zakłada neutralność ryzyka i wykorzystuje prawdopodobieństwo neutralne do ryzyka (q) do określenia prawdopodobieństwa ruchu w górę. Prawdopodobieństwo ruchu w dół wynosi (1-q).
• Stopa Wolna od Ryzyka (Risk-Free Rate): Wykorzystywana jest stopa procentowa wolna od ryzyka (r), aby zdyskontować przyszłe wartości do wartości bieżącej.

Wzory Podstawowe

Aby zbudować model Coxa-Rossa-Rubinsteina, potrzebujemy kilku kluczowych wzorów:

• Cena w Górę (Up Price): `uS`, gdzie S to aktualna cena aktywa bazowego.
• Cena w Dół (Down Price): `dS`, gdzie S to aktualna cena aktywa bazowego.
• Współczynnik Wzrostu (u): `e^(σ√Δt)`, gdzie σ to zmienność aktywa bazowego, a Δt to długość jednego okresu w latach.
• Współczynnik Spadku (d): `1/u = e^(-σ√Δt)`
• Prawdopodobieństwo Neutralne do Ryzyka (q): `(e^(rΔt) - d) / (u - d)`, gdzie r to stopa procentowa wolna od ryzyka.

Wycena Opcji Europejskiej Call

W przypadku opcji europejskiej call, wycena rozpoczyna się od określenia wartości opcji w momencie wygaśnięcia. W każdym węźle końcowym drzewa obliczamy wartość wewnętrzną opcji, czyli maksymalną różnicę między ceną aktywa bazowego a ceną wykonania (strike price) opcji:

`C = max(S - K, 0)`

gdzie:

• C to wartość opcji call
• S to cena aktywa bazowego w danym węźle końcowym
• K to cena wykonania opcji

Następnie, wartość opcji w każdym węźle jest obliczana poprzez zdyskontowanie oczekiwanej wartości w następnym okresie, używając prawdopodobieństwa neutralnego do ryzyka:

`C = e^(-rΔt) [qC_up + (1-q)C_down]`

gdzie:

• C_up to wartość opcji w węźle, w którym cena aktywa wzrosła
• C_down to wartość opcji w węźle, w którym cena aktywa spadła

Proces ten powtarza się wstecz przez całe drzewo, aż do uzyskania wartości opcji w węźle początkowym, który reprezentuje wartość opcji w chwili obecnej.

Wycena Opcji Europejskiej Put

Wycena opcji europejskiej put jest analogiczna do wyceny opcji call, z tą różnicą, że wartość wewnętrzna opcji put w węźle końcowym jest obliczana jako:

`P = max(K - S, 0)`

gdzie:

• P to wartość opcji put
• S to cena aktywa bazowego w danym węźle końcowym
• K to cena wykonania opcji

Wzór na wartość opcji put w każdym węźle to:

`P = e^(-rΔt) [qP_up + (1-q)P_down]`

gdzie:

• P_up to wartość opcji w węźle, w którym cena aktywa wzrosła
• P_down to wartość opcji w węźle, w którym cena aktywa spadła

Wycena Opcji Amerykańskiej

Opcje amerykańskie, w przeciwieństwie do europejskich, mogą być wykonywane w dowolnym momencie przed wygaśnięciem. W modelu drzewa binominalnego wycena opcji amerykańskiej wymaga dodatkowego kroku: w każdym węźle sprawdzamy, czy wykonanie opcji w danym momencie jest korzystne. Jeśli wartość wewnętrzna opcji jest wyższa niż wartość kontynuacji (czyli zdyskontowana wartość oczekiwana w następnym okresie), wykonujemy opcję.

Przykład Numeryczny

Załóżmy, że mamy opcję europejską call na akcje, z następującymi parametrami:

• Cena akcji (S): 100 zł
• Cena wykonania (K): 105 zł
• Zmienność (σ): 20%
• Stopa procentowa wolna od ryzyka (r): 5%
• Czas do wygaśnięcia (T): 1 rok
• Liczba okresów (n): 3

Obliczamy:

• Δt = T/n = 1/3
• u = e^(0.2 * √(1/3)) ≈ 1.096
• d = 1/u ≈ 0.912
• q = (e^(0.05 * (1/3)) - 0.912) / (1.096 - 0.912) ≈ 0.602

Budujemy drzewo binominalne i obliczamy wartość opcji w węzłach końcowych, a następnie wstecz przez drzewo, używając wzorów podanych wcześniej. Ostateczna wartość w węźle początkowym będzie wartością opcji.

Drzewo Binominalne (Uproszczone)

=== Wartość Opcji Call ===|

? |

? |

? |

max(119.5-105, 0) = 14.5 |

max(104.3-105, 0) = 0 |

max(82.1-105, 0) = 0 |

max(129.7-105, 0) = 24.7 |

max(114.1-105, 0) = 9.1 |

max(97.7-105, 0) = 0 |

(Uwaga: To uproszczony przykład, pełne obliczenia wymagają przejścia przez wszystkie węzły drzewa.)

Zalety i Wady Modelu Coxa-Rossa-Rubinsteina

Zalety:

• **Intuicyjność:** Model jest stosunkowo łatwy do zrozumienia i implementacji.
• **Elastyczność:** Może być stosowany do wyceny różnych typów opcji (europejskich, amerykańskich, azjatyckich).
• **Możliwość uwzględnienia wczesnego wykonania:** Model pozwala na uwzględnienie możliwości wczesnego wykonania opcji amerykańskich.

Wady:

• **Założenie o stałej zmienności:** Model zakłada stałą zmienność w czasie, co nie zawsze jest realistyczne.
• **Dyskretny czas:** Model opiera się na dyskretnych okresach czasowych, co może prowadzić do błędów w wycenie.
• **Wymaga znajomości parametrów:** Model wymaga znajomości parametrów wejściowych, takich jak zmienność i stopa procentowa wolna od ryzyka, które mogą być trudne do oszacowania.

Modyfikacje i Rozszerzenia Modelu

Istnieje wiele modyfikacji i rozszerzeń modelu Coxa-Rossa-Rubinsteina, które mają na celu poprawę jego dokładności i elastyczności:

• **Drzewo Trójmianowe:** Zamiast dwóch możliwych ruchów cen, model trójmianowy zakłada trzy: w górę, w dół i bez zmian.
• **Model z Zmienną Zmiennością:** Modele te pozwalają na zmianę zmienności w czasie.
• **Modele Monte Carlo:** Symulacje Monte Carlo pozwalają na uwzględnienie bardziej złożonych modeli zmienności i dystrybucji cen.

Zastosowania Modelu Coxa-Rossa-Rubinsteina

Model Coxa-Rossa-Rubinsteina jest szeroko stosowany w:

• **Wycenie opcji:** To główne zastosowanie modelu.
• **Zarządzaniu ryzykiem:** Model może być wykorzystywany do szacowania ryzyka związanego z pozycjami opcyjnymi.
• **Handlu algorytmicznym:** Model może być wykorzystywany do tworzenia strategii handlowych opartych na wycenie opcji.
• **Analizie scenariuszowej:** Model pozwala na analizę różnych scenariuszy cen aktywów bazowych i ich wpływu na wartość opcji.

Powiązane Zagadnienia

• Opcje Finansowe
• Opcja Europejska
• Opcja Amerykańska
• Zmienność Implikowana
• Greki Opcji (Delta, Gamma, Vega, Theta, Rho)
• Model Blacka-Scholesa (alternatywny model wyceny opcji)
• Analiza Fundamentalna
• Analiza Techniczna
• Strategie Opcji (Covered Call, Protective Put, Straddle, Strangle)
• Wolumen Obrotu
• Średnie Ruchome
• Wskaźnik Siły Względnej (RSI)
• MACD
• Bollinger Bands
• Fibonacci Retracements
• Analiza Wolumenu
• Ichimoku Cloud
• Patterny Świecowe
• Teoria Fal Eliotta
• Dywergencja
• Breakout Trading

Zacznij handlować teraz

Zarejestruj się w IQ Option (minimalny depozyt $10) Otwórz konto w Pocket Option (minimalny depozyt $5)

Dołącz do naszej społeczności

Subskrybuj nasz kanał Telegram @strategybin i uzyskaj: ✓ Codzienne sygnały handlowe ✓ Wyłącznie analizy strategiczne ✓ Alerty dotyczące trendów rynkowych ✓ Materiały edukacyjne dla początkujących