गॉस-सीडल

1. गॉस-सीडल विधि: एक विस्तृत विवरण

गॉस-सीडल विधि एक पुनरावृत्तीय विधि है जिसका उपयोग रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए किया जाता है। यह मैट्रिक्स बीजगणित और संख्यात्मक विश्लेषण के क्षेत्र में एक महत्वपूर्ण उपकरण है। विशेष रूप से, यह विधि उन प्रणालियों के लिए प्रभावी है जहां मैट्रिक्स विकर्ण प्रभुत्व प्रदर्शित करता है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक पंक्ति में विकर्ण तत्व अन्य सभी तत्वों के निरपेक्ष मानों के योग से बड़ा होता है। यह लेख गॉस-सीडल विधि की मूल अवधारणाओं, एल्गोरिथ्म, अभिसरण, अनुप्रयोगों और बाइनरी ऑप्शन ट्रेडिंग में इसके संभावित उपयोगों का विस्तृत विवरण प्रदान करेगा।

गॉस-सीडल विधि का परिचय

गॉस-सीडल विधि ज Jacobi विधि के समान है, लेकिन दोनों विधियों के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर है। Jacobi विधि सभी चर के पिछले पुनरावृत्ति मूल्यों का उपयोग करके एक साथ सभी चरों के लिए नए मूल्यों की गणना करती है। इसके विपरीत, गॉस-सीडल विधि नए मूल्यों को तुरंत उपयोग करती है जैसे ही वे उपलब्ध हो जाते हैं। यह अपडेट करने का दृष्टिकोण गॉस-सीडल विधि को Jacobi विधि की तुलना में तेजी से अभिसरण करने की अनुमति देता है, खासकर विकर्ण रूप से प्रमुख मैट्रिक्स के लिए।

गणितीय आधार

मान लीजिए कि हमारे पास n अज्ञातों x₁, x₂, ..., x_n के साथ n रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = b₂ ... a_n1x₁ + a_n2x₂ + ... + a_nnx_n = b_n

इस प्रणाली को मैट्रिक्स रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:

Ax = b

जहां A एक n x n मैट्रिक्स है, x एक n x 1 वेक्टर है जिसमें अज्ञात शामिल हैं, और b एक n x 1 वेक्टर है जिसमें स्थिरांक शामिल हैं।

गॉस-सीडल विधि प्रत्येक समीकरण को एक अज्ञात के लिए हल करके शुरू होती है, शेष सभी अज्ञातों को दाहिने हाथ की ओर स्थिरांक के रूप में माना जाता है। उदाहरण के लिए, पहले समीकरण को x₁ के लिए हल किया जा सकता है:

x₁ = (b₁ - a₁₂x₂ - a₁₃x₃ - ... - a_1nx_n) / a₁₁

फिर, इस नए x₁ मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, और x₂ के लिए हल किया जाता है। यह प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि सभी अज्ञातों के लिए समाधान प्राप्त नहीं हो जाते।

गॉस-सीडल एल्गोरिथ्म

गॉस-सीडल एल्गोरिथ्म को निम्नलिखित चरणों में संक्षेपित किया जा सकता है:

1. प्रारंभिक अनुमान चुनें: x⁽⁰⁾ = (x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾, ..., x_n⁽⁰⁾) 2. k = 0 से शुरू करें 3. प्रत्येक i = 1 से n के लिए:

   xi(k+1) = (bi - Σj=1i-1 aijxj(k+1) - Σj=i+1n aijxj(k)) / aii

4. अभिसरण मानदंड की जाँच करें: ||x^(k+1) - x^(k)|| < ε, जहां ε एक छोटी सहिष्णुता है। यदि मानदंड संतुष्ट है, तो रुकें। 5. k = k + 1 पर वापस जाएँ और चरण 3 दोहराएँ।

||x^(k+1) - x^(k)|| को वेक्टर मानदंड के रूप में समझा जाना चाहिए, जैसे कि यूक्लिडियन मानदंड (L2 मानदंड)।

गॉस-सीडल एल्गोरिथ्म का छद्म कोड

Column 1

Column 2

Input: A (मैट्रिक्स), b (वेक्टर), x(0) (प्रारंभिक अनुमान), ε (सहिष्णुता)

Output: x (समाधान वेक्टर)

k = 0

x = x(0)

While

x(k+1) - x(k)

>= ε do

For i = 1 to n do

Σj=1i-1 aijxj(k+1) = 0

Σj=i+1n aijxj(k) = 0

xi(k+1) = (bi - Σj=1i-1 aijxj(k+1) - Σj=i+1n aijxj(k)) / aii

End For

k = k + 1

End While

Return x(k)

अभिसरण

गॉस-सीडल विधि की अभिसरण की गारंटी नहीं है। हालांकि, यदि मैट्रिक्स A विकर्ण रूप से प्रमुख है, तो विधि अभिसरण करेगी। दूसरी ओर, यदि मैट्रिक्स A सममित और सकारात्मक निश्चित है, तो विधि भी अभिसरण करेगी।

अभिसरण की गति को प्रभावित करने वाले कारक:

• मैट्रिक्स A का विकर्ण प्रभुत्व: जितना अधिक विकर्ण प्रभुत्व होगा, अभिसरण उतना ही तेज होगा।
• प्रारंभिक अनुमान: एक अच्छा प्रारंभिक अनुमान अभिसरण को तेज कर

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