Principal Component Analysis (PCA)

Principal Component Analysis (PCA)

تحلیل مولفه‌های اصلی (PCA) یک تکنیک آماری قدرتمند برای کاهش ابعاد داده‌ها است. این روش به طور گسترده‌ای در زمینه‌های مختلف از جمله یادگیری ماشین، آمار، علوم تصویر و مالی مورد استفاده قرار می‌گیرد. هدف اصلی PCA یافتن مجموعه‌ای از متغیرهای جدید و غیرمرتبط (مولفه‌های اصلی) است که بیشترین واریانس داده‌های اصلی را در خود جای می‌دهند. به عبارت دیگر، PCA سعی می‌کند اطلاعات مهم داده‌ها را در تعداد کمتری از متغیرها فشرده کند، بدون اینکه اطلاعات زیادی از دست برود.

مقدمه

در بسیاری از مواقع، داده‌هایی که با آن‌ها سروکار داریم دارای ابعاد بالایی هستند، یعنی تعداد متغیرها (ویژگی‌ها) زیاد است. این موضوع می‌تواند منجر به مشکلاتی مانند:

• پیچیدگی محاسباتی: پردازش داده‌های با ابعاد بالا نیازمند منابع محاسباتی زیادی است.
• 'بیش‌برازش (Overfitting): در مدل‌های یادگیری ماشین، داده‌های با ابعاد بالا می‌توانند منجر به بیش‌برازش شوند، به این معنی که مدل به جای یادگیری الگوهای کلی، جزئیات خاص داده‌های آموزشی را حفظ می‌کند و در نتیجه، عملکرد آن روی داده‌های جدید ضعیف خواهد بود.
• تصویرسازی دشوار: تصور و درک داده‌های با ابعاد بالا برای انسان دشوار است.

PCA به ما کمک می‌کند تا این مشکلات را با کاهش ابعاد داده‌ها حل کنیم.

اصول پایه PCA

PCA بر اساس دو مفهوم اصلی بنا شده است:

• واریانس: میزان پراکندگی داده‌ها در اطراف میانگین آن‌ها. هرچه واریانس بیشتر باشد، داده‌ها پراکنده‌تر هستند و اطلاعات بیشتری را در خود جای داده‌اند.
• همبستگی: میزان رابطه بین دو متغیر. اگر دو متغیر همبستگی بالایی داشته باشند، به این معنی است که تغییرات در یکی از آن‌ها با تغییرات در دیگری همراه است.

PCA سعی می‌کند مولفه‌هایی را پیدا کند که بیشترین واریانس را در داده‌ها توضیح می‌دهند. این مولفه‌ها به صورت ترکیبی خطی از متغیرهای اصلی هستند و با یکدیگر غیرمرتبط هستند.

مراحل انجام PCA

انجام PCA شامل مراحل زیر است:

1. 'استانداردسازی داده‌ها (Data Standardization): قبل از انجام PCA، باید داده‌ها را استانداردسازی کنیم. این کار به این دلیل انجام می‌شود که متغیرهایی که مقیاس‌های متفاوتی دارند می‌توانند بر نتایج PCA تأثیر بگذارند. استانداردسازی داده‌ها به این معنی است که میانگین هر متغیر را از آن کم می‌کنیم و آن را بر انحراف معیار آن تقسیم می‌کنیم. این کار باعث می‌شود که همه متغیرها دارای میانگین صفر و انحراف معیار یک شوند. استانداردسازی داده 2. 'محاسبه ماتریس کوواریانس (Covariance Matrix): ماتریس کوواریانس نشان‌دهنده رابطه بین متغیرهای مختلف است. هر عنصر (i, j) در این ماتریس نشان‌دهنده کوواریانس بین متغیر i و متغیر j است. ماتریس کوواریانس 3. 'محاسبه بردارهای ویژه (Eigenvectors) و مقادیر ویژه (Eigenvalues): بردارهای ویژه و مقادیر ویژه ماتریس کوواریانس اطلاعات مهمی در مورد ساختار داده‌ها ارائه می‌دهند. مقادیر ویژه نشان‌دهنده میزان واریانس توضیح داده شده توسط هر بردار ویژه هستند. بردارهای ویژه و مقادیر ویژه 4. مرتب‌سازی بردارهای ویژه: بردارهای ویژه را بر اساس مقادیر ویژه مربوطه مرتب می‌کنیم. برداری که بیشترین مقدار ویژه را دارد، مهم‌ترین مولفه اصلی است و بیشترین واریانس را در داده‌ها توضیح می‌دهد. 5. انتخاب مولفه‌های اصلی: تعداد مولفه‌های اصلی که باید انتخاب شوند، بستگی به میزان واریانس مورد نظر برای حفظ دارد. معمولاً، مولفه‌های اصلی را تا زمانی که میزان واریانس توضیح داده شده به یک آستانه خاص (مثلاً 95٪) برسد، انتخاب می‌کنیم. انتخاب ویژگی 6. تبدیل داده‌ها: داده‌های اصلی را با استفاده از مولفه‌های اصلی انتخاب شده تبدیل می‌کنیم. این کار باعث می‌شود که داده‌ها به یک فضای با ابعاد کمتر نگاشت شوند.

مثال عملی

فرض کنید داده‌هایی داریم که شامل دو متغیر x و y هستند. برای انجام PCA، ابتدا داده‌ها را استانداردسازی می‌کنیم. سپس، ماتریس کوواریانس را محاسبه می‌کنیم. در این مثال، ماتریس کوواریانس به صورت زیر خواهد بود:

ماتریس کوواریانس

x	y
σx^2	cov(x, y)
cov(x, y)	σy^2

سپس، بردارهای ویژه و مقادیر ویژه این ماتریس را محاسبه می‌کنیم. فرض کنید بردار ویژه اول (v1) و مقدار ویژه اول (λ1) به ترتیب برابر با [0.707, 0.707] و 2 باشند. بردار ویژه دوم (v2) و مقدار ویژه دوم به ترتیب برابر با [-0.707, 0.707] و 1 باشند.

از آنجایی که λ1 > λ2، بردار ویژه v1 مهم‌ترین مولفه اصلی است و بیشترین واریانس را در داده‌ها توضیح می‌دهد. برای تبدیل داده‌ها، آن‌ها را بر روی بردار ویژه v1 تصویر می‌کنیم. این کار باعث می‌شود که داده‌ها به یک خط (یک بعد) نگاشت شوند.

تفسیر نتایج PCA

بعد از انجام PCA، می‌توانیم نتایج را به صورت زیر تفسیر کنیم:

• مولفه‌های اصلی: هر مولفه اصلی یک ترکیب خطی از متغیرهای اصلی است. وزن‌های این ترکیب خطی نشان‌دهنده اهمیت هر متغیر اصلی در تشکیل آن مولفه اصلی هستند.
• واریانس توضیح داده شده: هر مولفه اصلی میزان خاصی از واریانس داده‌ها را توضیح می‌دهد. مجموع واریانس توضیح داده شده توسط همه مولفه‌های اصلی برابر با کل واریانس داده‌ها است.
• نمره (Score): نمره هر نمونه در هر مولفه اصلی نشان‌دهنده موقعیت آن نمونه در آن مولفه اصلی است.

کاربردهای PCA

PCA کاربردهای فراوانی در زمینه‌های مختلف دارد، از جمله:

• کاهش ابعاد داده‌ها: PCA می‌تواند برای کاهش ابعاد داده‌های با ابعاد بالا استفاده شود. این کار می‌تواند منجر به بهبود عملکرد مدل‌های یادگیری ماشین و کاهش پیچیدگی محاسباتی شود.
• تصویرسازی داده‌ها: PCA می‌تواند برای تصویرسازی داده‌های با ابعاد بالا استفاده شود. با کاهش ابعاد داده‌ها به دو یا سه بعد، می‌توان آن‌ها را به صورت نمودار رسم کرد و الگوهای موجود در آن‌ها را مشاهده کرد.
• شناسایی ویژگی‌های مهم: PCA می‌تواند برای شناسایی ویژگی‌های مهم در داده‌ها استفاده شود. با بررسی وزن‌های مولفه‌های اصلی، می‌توان متغیرهایی را که بیشترین تأثیر را در واریانس داده‌ها دارند، شناسایی کرد.
• حذف نویز: PCA می‌تواند برای حذف نویز از داده‌ها استفاده شود. با حذف مولفه‌های اصلی که واریانس کمی دارند، می‌توان نویز را از داده‌ها حذف کرد.
• پیش‌پردازش داده‌ها: PCA می‌تواند به عنوان یک مرحله پیش‌پردازش برای سایر الگوریتم‌های یادگیری ماشین استفاده شود.

PCA در تحلیل‌های مالی

PCA در تحلیل‌های مالی کاربردهای متعددی دارد:

• مدیریت پورتفوی: PCA می‌تواند برای کاهش ابعاد فضای سرمایه‌گذاری و شناسایی دارایی‌هایی که بیشترین تنوع را در پورتفوی ایجاد می‌کنند، استفاده شود. مدیریت پورتفوی
• شناسایی ریسک: PCA می‌تواند برای شناسایی عوامل ریسک اصلی در بازار مالی استفاده شود.
• پیش‌بینی قیمت‌ها: PCA می‌تواند برای پیش‌بینی قیمت دارایی‌ها استفاده شود.
• تشخیص تقلب: PCA می‌تواند برای تشخیص تراکنش‌های تقلبی در سیستم‌های مالی استفاده شود.
• تحلیل سری‌های زمانی: PCA می‌تواند برای تحلیل سری‌های زمانی مالی و شناسایی الگوهای موجود در آن‌ها استفاده شود. تحلیل سری‌های زمانی

PCA و استراتژی‌های معاملاتی

PCA می‌تواند در طراحی و بهینه‌سازی استراتژی‌های معاملاتی نیز مفید باشد:

• 'استراتژی‌های میانگین متحرک (Moving Average Strategies): PCA می‌تواند برای شناسایی سیگنال‌های معاملاتی قوی‌تر در استراتژی‌های میانگین متحرک استفاده شود.
• 'استراتژی‌های مومنتوم (Momentum Strategies): PCA می‌تواند برای شناسایی دارایی‌هایی که بیشترین مومنتوم را دارند، استفاده شود. استراتژی‌های مومنتوم
• 'استراتژی‌های بازگشت به میانگین (Mean Reversion Strategies): PCA می‌تواند برای شناسایی دارایی‌هایی که از میانگین خود فاصله گرفته‌اند، استفاده شود.
• 'استراتژی‌های آربیتراژ (Arbitrage Strategies): PCA می‌تواند برای شناسایی فرصت‌های آربیتراژ در بازارهای مختلف استفاده شود.
• 'استراتژی‌های تحلیل حجم معاملات (Volume Analysis Strategies): PCA می‌تواند برای تحلیل حجم معاملات و شناسایی الگوهای معاملاتی استفاده شود. تحلیل حجم معاملات

PCA و تحلیل تکنیکال

PCA می‌تواند در تحلیل تکنیکال نیز کاربرد داشته باشد:

• اندیکاتورهای تکنیکال: PCA می‌تواند برای ترکیب و کاهش ابعاد اندیکاتورهای تکنیکال مختلف استفاده شود. اندیکاتورهای تکنیکال
• شناسایی الگوهای نموداری: PCA می‌تواند برای شناسایی الگوهای نموداری در داده‌های قیمت و حجم استفاده شود.
• تحلیل روند: PCA می‌تواند برای شناسایی و تأیید روندها در بازار استفاده شود.
• سطوح حمایت و مقاومت: PCA می‌تواند برای شناسایی سطوح حمایت و مقاومت در بازار استفاده شود.
• تحلیل فیبوناچی: PCA می‌تواند برای بهبود دقت تحلیل فیبوناچی استفاده شود. تحلیل فیبوناچی

محدودیت‌های PCA

PCA دارای محدودیت‌هایی نیز است:

• خطی بودن: PCA فرض می‌کند که داده‌ها به صورت خطی با یکدیگر مرتبط هستند. اگر داده‌ها غیرخطی باشند، PCA ممکن است نتایج دقیقی ارائه ندهد.
• مقیاس‌بندی: PCA به مقیاس‌بندی داده‌ها حساس است. قبل از انجام PCA، باید داده‌ها را استانداردسازی کنیم.
• تفسیرپذیری: مولفه‌های اصلی ممکن است همیشه قابل تفسیر نباشند.

جایگزین‌های PCA

در صورتی که PCA مناسب نباشد، می‌توان از روش‌های دیگری برای کاهش ابعاد داده‌ها استفاده کرد، از جمله:

• 'تحلیل تبعیض خطی (Linear Discriminant Analysis - LDA): LDA یک روش نظارت شده برای کاهش ابعاد داده‌ها است که از اطلاعات برچسب‌ها برای یافتن مولفه‌هایی استفاده می‌کند که بهترین تفکیک را بین کلاس‌های مختلف ایجاد می‌کنند. تحلیل تبعیض خطی
• 't-distributed Stochastic Neighbor Embedding (t-SNE): t-SNE یک روش غیرخطی برای کاهش ابعاد داده‌ها است که برای تصویرسازی داده‌های با ابعاد بالا بسیار مناسب است.
• Autoencoders: Autoencoders شبکه‌های عصبی هستند که برای یادگیری نمایش‌های فشرده از داده‌ها استفاده می‌شوند.
• 'Independent Component Analysis (ICA): ICA یک روش برای جداسازی سیگنال‌های مستقل از یک مخلوط از سیگنال‌ها است. تحلیل مولفه‌های مستقل

منابع بیشتر

• رگرسیون خطی
• تحلیل واریانس (ANOVA)
• آمار توصیفی
• احتمالات
• یادگیری ماشین

شروع معاملات الآن

ثبت‌نام در IQ Option (حداقل واریز $10) باز کردن حساب در Pocket Option (حداقل واریز $5)

به جامعه ما بپیوندید

در کانال تلگرام ما عضو شوید @strategybin و دسترسی پیدا کنید به: ✓ سیگنال‌های معاملاتی روزانه ✓ تحلیل‌های استراتژیک انحصاری ✓ هشدارهای مربوط به روند بازار ✓ مواد آموزشی برای مبتدیان