Generalized least squares

सामान्यीकृत লঘিষ্ঠ বর্গ (Generalized Least Squares)

सामान्यीकृत লঘিষ্ঠ বর্গ (Generalized Least Squares - GLS) হল একটি পরিসংখ্যানিক পদ্ধতি যা লিনিয়ার রিগ্রেশন মডেলের পরামিতিগুলির অনুমান করার জন্য ব্যবহৃত হয় যখন ত্রুটিগুলো স্বতন্ত্রতা এবং সমরূপতার শর্ত পূরণ করে না। সাধারণ লঘিষ্ঠ বর্গ (Ordinary Least Squares - OLS) পদ্ধতির একটি সাধারণীকরণ হিসেবে এটি কাজ করে।

ভূমিকা

যখন আমরা কোনো ডেটা মডেলিং করি, তখন প্রায়শই ধরে নেওয়া হয় যে ত্রুটিগুলো (errors) একে অপরের থেকে স্বাধীন এবং তাদের একই ভেরিয়েন্স রয়েছে। কিন্তু বাস্তবে, এই ধারণাগুলো সবসময় সত্য নাও হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, সময় সিরিজ ডেটায় ত্রুটিগুলো স্বয়ংক্রিয়ভাবে সম্পর্কযুক্ত (autocorrelated) হতে পারে, অথবা বিভিন্ন গোষ্ঠীর ডেটার ত্রুটিগুলোর ভেরিয়েন্স ভিন্ন হতে পারে। এই ধরনের পরিস্থিতিতে, OLS পদ্ধতি অপ্টিমাল নাও হতে পারে এবং এর ফলে ভুল অনুমান এবং সিদ্ধান্ত আসতে পারে।

GLS পদ্ধতি এই সমস্যাগুলো সমাধান করতে সাহায্য করে। এটি ত্রুটিগুলোর মধ্যে সম্পর্ক এবং বিভিন্ন ভেরিয়েন্সকে বিবেচনায় নিয়ে মডেলের পরামিতিগুলির আরও সঠিক অনুমান প্রদান করে।

GLS এর মূল ধারণা

GLS এর মূল ধারণা হল ত্রুটিগুলোর কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স (covariance matrix) ব্যবহার করে মডেলটিকে এমনভাবে পরিবর্তন করা যাতে ত্রুটিগুলো স্বতন্ত্র এবং সমরূপ হয়। এই পরিবর্তনের পর, সাধারণ লঘিষ্ঠ বর্গ পদ্ধতি ব্যবহার করে পরামিতিগুলোর অনুমান করা যায়।

ধরা যাক, আমাদের একটি লিনিয়ার রিগ্রেশন মডেল আছে:

y = Xβ + ε

যেখানে, y হল নির্ভরশীল চলক (dependent variable) X হল স্বাধীন চলকগুলোর ম্যাট্রিক্স (matrix of independent variables) β হল পরামিতিগুলোর ভেক্টর (vector of parameters) ε হল ত্রুটিগুলোর ভেক্টর (vector of errors)

OLS পদ্ধতিতে, আমরা নিম্নলিখিত শর্তটি অপটিমাইজ করি:

∑(yi - Xβi)²

GLS পদ্ধতিতে, আমরা নিম্নলিখিত শর্তটি অপটিমাইজ করি:

(y - Xβ)'Ω⁻¹(y - Xβ)

যেখানে, Ω হল ত্রুটিগুলোর কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স।

যদি Ω জানা থাকে, তাহলে GLS এর সমাধান হবে:

β̂ = (X'Ω⁻¹X)⁻¹X'Ω⁻¹y

Ω ম্যাট্রিক্স নির্ণয়

GLS প্রয়োগ করার জন্য ত্রুটিগুলোর কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স Ω জানা অপরিহার্য। Ω নির্ণয় করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে, যা ডেটার ধরনের উপর নির্ভর করে। কিছু সাধারণ পদ্ধতি নিচে উল্লেখ করা হলো:

• সময় সিরিজ ডেটার জন্য, অটোCorrelation এবং আংশিক অটোCorrelation ফাংশন ব্যবহার করে Ω নির্ণয় করা যেতে পারে।
• বিভিন্ন গোষ্ঠীর ডেটার জন্য, প্রতিটি গোষ্ঠীর ভেরিয়েন্স আলাদাভাবে অনুমান করে Ω তৈরি করা যেতে পারে।
• মডেলের গঠন এবং ডেটার বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী বিভিন্ন ধরনের কোভারিয়েন্স ফাংশন ব্যবহার করা যেতে পারে।

GLS এর প্রকারভেদ

GLS এর বিভিন্ন প্রকারভেদ রয়েছে, যা ত্রুটিগুলোর কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়। নিচে কয়েকটি উল্লেখযোগ্য প্রকারভেদ আলোচনা করা হলো:

• ওয়েটেড লঘিষ্ঠ বর্গ (Weighted Least Squares - WLS): এই পদ্ধতিতে, প্রতিটি পর্যবেক্ষণের (observation) জন্য একটি ভিন্ন ওজন (weight) ব্যবহার করা হয়, যা ত্রুটির ভেরিয়েন্সের বিপরীত (inverse) অনুপাতে হয়। WLS সাধারণত বিভিন্ন ভেরিয়েন্সের ত্রুটিগুলোর জন্য ব্যবহৃত হয়।
• প্রথম ক্রম অটোরিগ্রেসিভ মডেল (First-Order Autoregressive Model): এই মডেলে, ত্রুটিগুলো প্রথম ক্রমের অটোCorrelation প্রদর্শন করে। এই ক্ষেত্রে, Ω ম্যাট্রিক্সটি একটি নির্দিষ্ট কাঠামো অনুসরণ করে এবং GLS সমাধানটি সরল করা যেতে পারে।
• সাধারণ অটোরিগ্রেসিভ মডেল (General Autoregressive Model): এই মডেলে, ত্রুটিগুলো বিভিন্ন ক্রমের অটোCorrelation প্রদর্শন করে। এই ক্ষেত্রে, Ω ম্যাট্রিক্সটি আরও জটিল হয় এবং GLS সমাধানটি গণনা করা কঠিন হতে পারে।

OLS এবং GLS এর মধ্যে পার্থক্য

| বৈশিষ্ট্য | সাধারণ লঘিষ্ঠ বর্গ (OLS) |सामान्यीकृत লঘিষ্ঠ বর্গ (GLS) | |---|---|---| | ত্রুটির অনুমান | ত্রুটিগুলো স্বতন্ত্র এবং সমরূপ | ত্রুটিগুলো সম্পর্কযুক্ত এবং বিভিন্ন ভেরিয়েন্সের হতে পারে | | কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স | ত্রুটিগুলোর কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স I (identity matrix) ধরা হয় | ত্রুটিগুলোর কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স Ω ব্যবহার করা হয় | | দক্ষতা | ত্রুটিগুলোর অনুমান সঠিক হলে সবচেয়ে দক্ষ | ত্রুটিগুলোর অনুমান ভুল হলে OLS এর চেয়ে বেশি দক্ষ | | জটিলতা | সরল এবং সহজে গণনা করা যায় | জটিল এবং গণনা করা কঠিন হতে পারে |

হাইপোথেসিস টেস্টিং এবং কনফিডেন্স ইন্টারভাল

GLS পদ্ধতিতে প্রাপ্ত পরামিতিগুলোর স্ট্যান্ডার্ড এরর (standard error) OLS পদ্ধতির চেয়ে ভিন্ন হয়। তাই, হাইপোথেসিস টেস্টিং এবং কনফিডেন্স ইন্টারভাল গণনা করার সময় GLS এর স্ট্যান্ডার্ড এরর ব্যবহার করা উচিত।

GLS এর সুবিধা

• আরও সঠিক অনুমান: যখন ত্রুটিগুলো স্বতন্ত্র এবং সমরূপ নয়, তখন GLS OLS এর চেয়ে আরও সঠিক অনুমান প্রদান করে।
• উন্নত দক্ষতা: GLS মডেলের পরামিতিগুলোর ভেরিয়েন্স কমিয়ে দক্ষতা বৃদ্ধি করে।
• ত্রুটিগুলোর সম্পর্কের ব্যবহার: GLS ত্রুটিগুলোর মধ্যে সম্পর্ককে বিবেচনায় নেয়, যা মডেলের আরও বাস্তবসম্মত চিত্র প্রদান করে।

GLS এর অসুবিধা

• Ω ম্যাট্রিক্সের অনুমান: GLS প্রয়োগ করার জন্য ত্রুটিগুলোর কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স Ω জানা বা অনুমান করা প্রয়োজন, যা কঠিন হতে পারে।
• জটিল গণনা: GLS এর গণনা OLS এর চেয়ে জটিল হতে পারে, বিশেষ করে যখন Ω ম্যাট্রিক্সটি বড় এবং জটিল হয়।
• মডেলের ভুল স্পেসিফিকেশন: যদি Ω ম্যাট্রিক্সটি ভুলভাবে নির্দিষ্ট করা হয়, তাহলে GLS এর ফলাফল OLS এর চেয়ে খারাপ হতে পারে।

বাস্তব উদাহরণ

• অর্থনীতি: অর্থনীতিতে, সময় সিরিজ ডেটা বিশ্লেষণের জন্য GLS বহুলভাবে ব্যবহৃত হয়। উদাহরণস্বরূপ, মুদ্রাস্ফীতি, বেকারত্ব এবং জিডিপির মতো অর্থনৈতিক চলকগুলো প্রায়শই অটোCorrelation প্রদর্শন করে, এবং GLS এই অটোCorrelation বিবেচনায় নিয়ে আরও সঠিক মডেল তৈরি করতে সাহায্য করে।
• জীববিজ্ঞান: জীববিজ্ঞানে, বিভিন্ন পরীক্ষামূলক নকশার (experimental designs) ডেটা বিশ্লেষণের জন্য GLS ব্যবহার করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি বিভিন্ন গ্রুপের ডেটার ভেরিয়েন্স ভিন্ন হয়, তাহলে WLS ব্যবহার করে আরও সঠিক ফলাফল পাওয়া যেতে পারে।
• প্রকৌশল: প্রকৌশলে, নয়েজি ডেটা (noisy data) বিশ্লেষণের জন্য GLS ব্যবহার করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, সংকেত প্রক্রিয়াকরণ (signal processing) এবং নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা (control systems)তে GLS ব্যবহার করে সংকেতের আরও সঠিক অনুমান করা যায়।

অন্যান্য সম্পর্কিত কৌশল

• প্রGeneralised Method of Moments (GMM)
• Maximum Likelihood Estimation (MLE)
• Bayesian Regression

ভলিউম বিশ্লেষণ এবং টেকনিক্যাল বিশ্লেষণ এর সাথে সম্পর্ক

যদিও Generalized Least Squares প্রধানত পরিসংখ্যানিক মডেলিং-এর একটি অংশ, তবে এর ধারণাগুলি ভলিউম বিশ্লেষণ এবং টেকনিক্যাল বিশ্লেষণ এর ক্ষেত্রেও প্রাসঙ্গিক হতে পারে।

• টেকনিক্যাল নির্দেশকগুলির (Technical Indicators) অপটিমাইজেশন: কিছু টেকনিক্যাল নির্দেশক সময়ের সাথে সাথে তাদের সংবেদনশীলতা পরিবর্তন করতে পারে। GLS ব্যবহার করে এই পরিবর্তনশীলতা মডেল করা যেতে পারে, যা নির্দেশকগুলির আরও সঠিক সংকেত দিতে সাহায্য করে।
• সময় সিরিজ পূর্বাভাস: শেয়ার বাজার বা অন্য কোনো আর্থিক বাজারের সময় সিরিজ ডেটা বিশ্লেষণের জন্য GLS ব্যবহার করে ভবিষ্যতের মূল্য সম্পর্কে আরও নির্ভরযোগ্য পূর্বাভাস দেওয়া যেতে পারে।
• ঝুঁকি ব্যবস্থাপনা: GLS মডেলিং ব্যবহার করে বিভিন্ন সম্পদের মধ্যে সম্পর্ক এবং তাদের ঝুঁকির মূল্যায়ন করা যেতে পারে, যা পোর্টফোলিও ব্যবস্থাপনার (portfolio management) জন্য গুরুত্বপূর্ণ।
• প্যাটার্ন রিকগনিশন: ডেটার মধ্যে লুকানো প্যাটার্নগুলি খুঁজে বের করতে এবং সেগুলির পূর্বাভাস দিতে GLS সহায়ক হতে পারে।

উপসংহার

सामान्यीकृत লঘিষ্ঠ বর্গ (GLS) একটি শক্তিশালী পরিসংখ্যানিক পদ্ধতি যা লিনিয়ার রিগ্রেশন মডেলের পরামিতিগুলির আরও সঠিক অনুমান প্রদান করতে পারে যখন ত্রুটিগুলো স্বতন্ত্র এবং সমরূপ নয়। যদিও GLS এর প্রয়োগ OLS এর চেয়ে জটিল, তবে এটি ডেটা বিশ্লেষণের গুণমান এবং নির্ভরযোগ্যতা উন্নত করতে সহায়ক হতে পারে। বিভিন্ন ক্ষেত্র যেমন অর্থনীতি, জীববিজ্ঞান, এবং প্রকৌশলে এর ব্যবহারিক প্রয়োগ রয়েছে। (Category:Statistics) লিনিয়ার রিগ্রেশন অনুমান স্বতন্ত্রতা সমরূপতা কোভারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স সময় সিরিজ ডেটা ভেরিয়েন্স হাইপোথেসিস টেস্টিং কনফিডেন্স ইন্টারভাল স্ট্যান্ডার্ড এরর অর্থনীতি জীববিজ্ঞান প্রকৌশল Generalised Method of Moments Maximum Likelihood Estimation Bayesian Regression ভলিউম বিশ্লেষণ টেকনিক্যাল বিশ্লেষণ শেয়ার বাজার ঝুঁকি ব্যবস্থাপনা পোর্টফোলিও ব্যবস্থাপনা প্যাটার্ন রিকগনিশন অটোCorrelation আংশিক অটোCorrelation সংকেত প্রক্রিয়াকরণ নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা

এখনই ট্রেডিং শুরু করুন

IQ Option-এ নিবন্ধন করুন (সর্বনিম্ন ডিপোজিট $10) Pocket Option-এ অ্যাকাউন্ট খুলুন (সর্বনিম্ন ডিপোজিট $5)

আমাদের সম্প্রদায়ে যোগ দিন

আমাদের টেলিগ্রাম চ্যানেলে যোগ দিন @strategybin এবং পান: ✓ দৈনিক ট্রেডিং সংকেত ✓ একচেটিয়া কৌশলগত বিশ্লেষণ ✓ বাজারের প্রবণতা সম্পর্কে বিজ্ঞপ্তি ✓ নতুনদের জন্য শিক্ষামূলক উপকরণ