ফুরিয়ার বিশ্লেষণ

ফুরিয়ার বিশ্লেষণ হলো গণিত, পদার্থবিজ্ঞান, প্রকৌশল এবং অন্যান্য বিভিন্ন বৈজ্ঞানিক ক্ষেত্রে ব্যবহৃত একটি শক্তিশালী কৌশল। এটি জটিল তরঙ্গ বা সংকেতকে সরল সাইন ও কোসাইন তরঙ্গের সমষ্টি হিসেবে প্রকাশ করে। এই বিশ্লেষণের মাধ্যমে সংকেতের ফ্রিকোয়েন্সি উপাদানগুলো জানা যায়, যা সংকেত প্রক্রিয়াকরণ, চিত্র বিশ্লেষণ, এবং ডেটা compression-এর মতো বিভিন্ন অ্যাপ্লিকেশনে ব্যবহৃত হয়। বাইনারি অপশন ট্রেডিংয়ের ক্ষেত্রেও ফুরিয়ার বিশ্লেষণ গুরুত্বপূর্ণ, কারণ এটি বাজারের গতিবিধি এবং প্রবণতা বুঝতে সাহায্য করে।

ফুরিয়ার বিশ্লেষণের ইতিহাস

ফুরিয়ার বিশ্লেষণের ধারণাটি জোসেফ ফুরিয়ার (Joseph Fourier) ১৮২২ সালে তার "Théorie de la Chaleur" (The Theory of Heat) গ্রন্থে প্রথম প্রকাশ করেন। ফুরিয়ার দেখিয়েছিলেন যে যেকোনো জটিল তরঙ্গকে ত্রিকোণমিতিক ফাংশন - সাইন (sine) এবং কোসাইন (cosine) - এর একটি অসীম সমষ্টি হিসাবে প্রকাশ করা সম্ভব। প্রাথমিকভাবে এটি তাপ সঞ্চালনের সমস্যা সমাধানের জন্য ব্যবহৃত হয়েছিল, কিন্তু পরবর্তীতে এটি সংকেত প্রক্রিয়াকরণ এবং অন্যান্য ক্ষেত্রে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হতে শুরু করে। ফুরিয়ার এর কাজের পূর্বে, বিজ্ঞানীরা জটিল তরঙ্গগুলোকে স্বতন্ত্র এবং মৌলিক উপাদান হিসেবে বিবেচনা করতেন না। ফুরিয়ার দেখালেন যে জটিল তরঙ্গগুলো আসলে সরল তরঙ্গের সমন্বয়ে গঠিত।

ফুরিয়ার বিশ্লেষণের মূল ধারণা

ফুরিয়ার বিশ্লেষণের মূল ধারণা হলো যেকোনো পর্যায়ক্রমিক (periodic) ফাংশনকে বিভিন্ন ফ্রিকোয়েন্সির সাইন ও কোসাইন ফাংশনের সমষ্টি হিসেবে প্রকাশ করা। এই প্রক্রিয়াটিকে ফুরিয়ার রূপান্তর (Fourier Transform) বলা হয়।

ধরা যাক, একটি সংকেত f(t), যা সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয়। ফুরিয়ার রূপান্তর এই সংকেতটিকে ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইনে (frequency domain) রূপান্তরিত করে, যেখানে সংকেতের প্রতিটি ফ্রিকোয়েন্সি উপাদানের বিস্তার (amplitude) এবং পর্যায় (phase) জানা যায়।

ফুরিয়ার রূপান্তরের সূত্রটি হলো:

F(ω) = ∫^-∞_∞ f(t)e^-jωt dt

এখানে,

F(ω) হলো ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইনে সংকেত।
f(t) হলো সময় ডোমেইনে সংকেত।
ω হলো কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি (angular frequency)।
j হলো কাল্পনিক একক (imaginary unit), যেখানে j² = -1।

বিপরীত ফুরিয়ার রূপান্তর (Inverse Fourier Transform) ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইন থেকে আবার সময় ডোমেইনে ফিরে যেতে ব্যবহৃত হয়:

f(t) = (1/2π) ∫^-∞_∞ F(ω)e^jωt dω